Câu hỏi:
01/07/2022 386
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên tập số thực thỏa mãn \(f\left( x \right) + \left( {5x - 2} \right)f\left( {5{x^2} - 4x} \right)\) \( = 50{x^3} - 60{x^2} + 23x - 1\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của biểu thức \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên tập số thực thỏa mãn \(f\left( x \right) + \left( {5x - 2} \right)f\left( {5{x^2} - 4x} \right)\) \( = 50{x^3} - 60{x^2} + 23x - 1\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của biểu thức \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án A
Phương pháp giải:
- Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế.
- Sử dụng phương pháp đổi biến số.
- Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} \).
Giải chi tiết:
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được:
\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {5x - 2} \right)f\left( {5{x^2} - 4x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {50{x^3} - 60{x^2} + 23x - 1} \right)dx} \)
Xét tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left( {5x - 2} \right)f\left( {5{x^2} - 4x} \right)dx} \).
Đặt \(t = 5{x^2} - 4x\) ta có: \(dt = \left( {10x - 4} \right)dx \Leftrightarrow \left( {5x - 2} \right)dx = \frac{1}{2}dt\)
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = 1 \Rightarrow t = 1}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{2}f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)
Xét tích phân \(J = \int\limits_0^1 {\left( {50{x^3} - 60{x^2} + 23x - 1} \right)dx} \) ta có:
\(J = \left. {\left( {\frac{{50{x^4}}}{4} - \frac{{60{x^3}}}{3} + \frac{{23{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_0^1 = 3\)
Khi đó ta có \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 3\)
\( \Leftrightarrow \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 3\)
\( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\).
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án: \(S = \frac{{937}}{{12}}\)
Phương pháp giải:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm.
- Sử dụng công thức: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = g\left( x \right)\), các đường thẳng \(x = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\( - {x^3} + 12x = - {x^2} \Leftrightarrow - {x^3} + {x^2} + 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 4}\\{x = - 3}\end{array}} \right.\)
Vậy diện tích của hình phẳng \(\left( H \right)\) là:
\(\int\limits_{ - 3}^0 {\left| { - {x^3} + {x^2} + 12x} \right|} + \int\limits_0^4 {\left| { - {x^3} + {x^2} + 12x} \right|} = \frac{{99}}{4} + \frac{{160}}{3} = \frac{{937}}{{12}}\).
Lời giải
Đáp án D
Phương pháp giải:
- Tìm hàm số vận tốc: \(v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} \), sử dụng dữ kiện \(v\left( 0 \right) = 15\) để tìm C.
- Quãng đường đi được sau 10 giây là: \(S = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt} \).
Giải chi tiết:
Ta có \(v = \int {a\left( t \right)dt = \int {\left( {3t - 8} \right)dt} } = \frac{{3{t^2}}}{2} - 8t + C\).
Vì ô tô đang chạy với vận tốc 15m/s nên ta có: \(v\left( 0 \right) = 15 \Rightarrow C = 15.\)
\( \Rightarrow v = \frac{{3{t^2}}}{2} - 8t + 15.\)
Vậy quãng đường ô tô đi được sau 10 giây là: \(S = \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{{3{t^2}}}{2} - 8t + 15} \right)dt = 250} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 30)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 3)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận