Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 1}}{{{x^2} - x - 2}} = 3\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{f^3}\left( x \right) + 3f\left( x \right) - 4}}{{{x^2} - 2x}}\).

Đáp án: 27

 Phương pháp giải:

- Đặt \(\frac{{f\left( x \right) - 1}}{{{x^2} - x - 2}} = g\left( x \right)\), biểu diễn \(f\left( x \right)\) theo \(g\left( x \right)\) và tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\).

- Phân tích biểu thức \(\frac{{{f^3}\left( x \right) + 3f\left( x \right) - 4}}{{{x^2} - 2x}}\) thành tích 2 phân thức, 1 phân thức dạng \(\frac{0}{0}\) và một phân thức xác định.

- Dựa vào giới hạn đề bài.

Giải chi tiết:

Đặt \(\frac{{f\left( x \right) - 1}}{{{x^2} - x - 2}} = g\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {{x^2} - x - 2} \right)g\left( x \right) + 1\)

Khi đó ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 1}}{{{x^2} - x - 2}} = 3 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = 3\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {{x^2} - x - 2} \right)g\left( x \right) + 1} \right] = 1\)

Ta có: \({\mkern 1mu} \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{f^3}\left( x \right) + 3f\left( x \right) - 4}}{{{x^2} - 2x}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]\left[ {{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + 4} \right]}}{{x\left( {x - 2} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 1}}{{x - 2}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{f^2}\left( x \right) + f\left( x \right) + 4}}{x}\)

Theo bài ra ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 1}}{{{x^2} - x - 2}} = 3\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 3\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 1}}{{x - 2}}.\frac{1}{{x + 1}} = 3\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 1}}{{x - 2}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{x + 1}} = 3\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 1}}{{x - 2}}.\frac{1}{3} = 3\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - 1}}{{x - 2}} = 9\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{f^3}\left( x \right) + 3f\left( x \right) - 4}}{{{x^2} - 2x}} = 9.\frac{{1 + 1 + 4}}{2} = 27\).