Câu hỏi:
12/07/2024 162
Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OC\) đôi một vuông góc với nhau. Biết khoảng cách từ điểm \(O\) đến các đường thẳng \(BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CA,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AB\) lần lượt là \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a\sqrt 2 ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) theo a.
Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OC\) đôi một vuông góc với nhau. Biết khoảng cách từ điểm \(O\) đến các đường thẳng \(BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CA,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AB\) lần lượt là \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a\sqrt 2 ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) theo a.
Câu hỏi trong đề:
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: \(\frac{{2a\sqrt {33} }}{{11}}\)
Phương pháp giải:
- Kẻ \(OM \bot AC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {M \in AC} \right)\), \(ON \bot AB{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {N \in AB} \right)\), \(OP \bot BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {P \in BC} \right)\). Khi đó ta có \(OP = a,\) \(OM = a\sqrt 2 ,\) \(ON = a\sqrt 3 \).
- Trong \[\left( {OCN} \right)\] kẻ \[OH \bot CN{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in CN} \right)\], chứng minh \[OH \bot \left( {ABC} \right)\].
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Giải chi tiết:
Kẻ \(OM \bot AC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {M \in AC} \right)\), \(ON \bot AB{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {N \in AB} \right)\), \(OP \bot BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {P \in BC} \right)\)
Khi đó ta có \[OP = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} OM = a\sqrt 2 ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ON = a\sqrt 3 \]
Trong \(\left( {OCN} \right)\) kẻ \(OH \bot CN{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in CN} \right)\) ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot ON}\\{AB \bot OC}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {OCN} \right) \Rightarrow AB \bot OH\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OH \bot AB}\\{OH \bot CN}\end{array}} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = OH\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{C^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)
Lại có: \(\frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{1}{{O{N^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{1}{{O{P^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} + \frac{1}{{O{P^2}}} = 2\left( {\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{O{N^2}}} + \frac{1}{{O{P^2}}}} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}}} \right) = \frac{{11}}{{12{a^2}}}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{{11}}{{12{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{2a\sqrt {33} }}{{11}}\)
Vậy \(d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt {33} }}{{11}}\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Este X hai chức, mạch hở, tạo bởi một ancol no với hai axit cacboxylic no, đơn chức. Este Y ba chức, mạch hở tạo bởi glixerol với một axit cacboxylic không no, đơn chức (phân tử có hai liên kết π). Đốt cháy hoàn toàn m gam hỗn hợp E gồm X và Y cần vừa đủ 0,5 mol O2 thu được 0,45 mol CO2. Mặt khác, thủy phân hoàn toàn 0,16 mol E cần vừa đủ 210 ml dung dịch NaOH 2M thu được hai ancol (có cùng số nguyên tử cacbon trong phân tử) và hỗn hợp ba muối, trong đó tổng khối lượng hai muối của hai axit no là a gam. Giá trị của a là
Este X hai chức, mạch hở, tạo bởi một ancol no với hai axit cacboxylic no, đơn chức. Este Y ba chức, mạch hở tạo bởi glixerol với một axit cacboxylic không no, đơn chức (phân tử có hai liên kết π). Đốt cháy hoàn toàn m gam hỗn hợp E gồm X và Y cần vừa đủ 0,5 mol O2 thu được 0,45 mol CO2. Mặt khác, thủy phân hoàn toàn 0,16 mol E cần vừa đủ 210 ml dung dịch NaOH 2M thu được hai ancol (có cùng số nguyên tử cacbon trong phân tử) và hỗn hợp ba muối, trong đó tổng khối lượng hai muối của hai axit no là a gam. Giá trị của a là
Xem đáp án »
13/07/2024
5,503
Câu 2:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^3}\left[ {{x^2} + \left( {4m - 5} \right)x + {m^2} - 7m + 6} \right],{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^3}\left[ {{x^2} + \left( {4m - 5} \right)x + {m^2} - 7m + 6} \right],{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?
Xem đáp án »
01/07/2022
4,017
Câu 3:
Chiều hướng tiến hóa về tổ chức thần kinh ở động vật theo trình tự là
Xem đáp án »
30/06/2022
3,030
Câu 4:
Cụm từ “quân xanh màu lá” trong câu “quân xanh màu lá dữ oai hùm” nhằm chỉ điều gì?
Cụm từ “quân xanh màu lá” trong câu “quân xanh màu lá dữ oai hùm” nhằm chỉ điều gì?
Xem đáp án »
01/07/2022
2,590
Câu 5:
Hình ảnh con sông Mã được xuất hiện trong đoạn thơ trên có mối liên hệ như thế nào với hình ảnh con sông Mã xuất hiện ở khổ thơ đầu?
Hình ảnh con sông Mã được xuất hiện trong đoạn thơ trên có mối liên hệ như thế nào với hình ảnh con sông Mã xuất hiện ở khổ thơ đầu?
Xem đáp án »
01/07/2022
2,319
Câu 6:
Một người gửi 300 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 quý và lãi suất 1,75% một quý. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng người gửi có ít nhất 500 triệu đồng (bao gồm cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi).
Một người gửi 300 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 quý và lãi suất 1,75% một quý. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng người gửi có ít nhất 500 triệu đồng (bao gồm cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi).
Xem đáp án »
01/07/2022
2,243
Câu 7:
Họ nguyên hàm \(\int {\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}dx} \) bằng:
Họ nguyên hàm \(\int {\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}dx} \) bằng:
Xem đáp án »
01/07/2022
2,050
về câu hỏi!