Câu hỏi:
01/07/2022 7,891
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 1} \right)x + 1\). Số giá trị nguyên của \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) là:
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 1} \right)x + 1\). Số giá trị nguyên của \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) là:
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án C
Phương pháp giải:
- Tính đạo hàm \(y'\)
- Hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)\( \Leftrightarrow y' \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
- Xét các TH sau:
+ TH1: \(\Delta ' \le 0\) \( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
+ TH2: \(\Delta ' > 0\), phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\). Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)thì \({x_1} < {x_2} \le 1\)
- Áp dụng định lí Vi-ét.
Giải chi tiết:
Hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 1} \right)x + 1\) xác định trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Ta có: \(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 1} \right)\)
Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)\( \Leftrightarrow y' \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 1} \right) \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\) (*).
Ta có \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 3\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 5m + 4\)
TH1: \(\Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le m \le 4\), khi đó \(y' \ge 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \mathbb{R}\) nên thỏa mãn (*).
TH2: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 4}\\{m < 1}\end{array}} \right.\), khi đó phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\).
Áp dụng định lí Vi-et ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)}\\{{x_1}{x_2} = 3\left( {m - 1} \right)}\end{array}} \right.\)
Khi đó ta có \(y' \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge {x_2}}\\{x \le {x_1}}\end{array}} \right.\), nên hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { - \infty ;{x_1}} \right)\) và \(\left( {{x_2}; + \infty } \right)\)
Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \(\left( {1; + \infty } \right) \subseteq \left( {{x_2}; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow {x_1} < {x_2} \le 1\)
Khi đó ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} < 2}\\{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} < 2}\\{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \ge 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\left( {m - 1} \right) < 2}\\{3\left( {m - 1} \right) - 2\left( {m - 1} \right) + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 < 1}\\{m - 1 + 1 \ge 0}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 2}\\{m \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 0 \le m < 2\)
Kết hợp 2 TH ta có \(0 \le m \le 4\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).
Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)
Đã bán 1,4k
₫ 290.000
₫ 140.000
Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1)
Đã bán 902
₫ 150.000
₫ 39.000
Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1)
Đã bán 851
₫ 150.000
₫ 39.000
Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)
Đã bán 1,4k
₫ 280.000
₫ 150.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Ông \(A\) dự định sử dụng hết \(6,5{m^3}\) kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Ông \(A\) dự định sử dụng hết \(6,5{m^3}\) kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Xem đáp án »
13/07/2024
36,585
Câu 4:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {x^2} - 4x + 3,\) \(x = 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 3\) và trục hoành bằng:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {x^2} - 4x + 3,\) \(x = 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 3\) và trục hoành bằng:
Xem đáp án »
01/07/2022
10,870
Câu 5:
Xét các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({2^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {{x^2} + {y^2} - 2x + 2} \right){4^x}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{8x + 4}}{{2x - y + 1}}\) gần nhất với số nào dưới đây?
Xét các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({2^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {{x^2} + {y^2} - 2x + 2} \right){4^x}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{8x + 4}}{{2x - y + 1}}\) gần nhất với số nào dưới đây?
Xem đáp án »
13/07/2024
7,809
🔥 Đề thi HOT:
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 30)
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 2)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 8)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận