Xét các số thực (x,y ) thỏa mãn ({2^{{x^2} + {y^2} + 1}} le left( {{x^2} + {y^2} - 2x + 2} right){4^x} ). Giá trị lớn nhất của biểu thức (P = frac{{8x + 4}}{{2x - y + 1}} ) gần nhất với số nào dưới đ...

Đáp án: 7 Giải chi tiết: Nhận xét: ({x^2} + {y^2} - 2x + 2 = { left( {x - 1} right)^2} + {y^2} + 1 > 0{ mkern 1mu} { mkern 1mu} { mkern 1mu} forall x,y ) Bpt ( Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2} - 2x + 1}} le {x^2} + {y^2} - 2x + 2 ) Đặt (t = {x^2} + {y^2} - 2x + 1 ), bất phương trình trở thành ({2^t} le t + 1 Leftrightarrow {2^t} - t - 1 le 0 ) Xét hàm số (f left( t right) = {2^t} - t - 1 ) có (f' left( t right) = {2^t} ln 2 - 1 = 0 Leftrightarrow t = { log _2} left( {{{ log }_2}e} right). ) BBT: Suy ra ta có (0 le t le 1 Rightarrow { left( {x - 1} right)^2} + {y^2} le 1 ) Ta có: (P = frac{{8x + 4}}{{2x - y + 1}} ) [ Leftrightarrow 2Px - Py + P = 8x + 4 ] [ Leftrightarrow P - 4 = left( {8 - 2P} right)x + Py ] [ Leftrightarrow 3P - 12 = left( {8 - 2P} right) left( {x - 1} right) + Py ] [ Leftrightarrow { left( {3P - 12} right)^2} le left[ {{{ left( {8 - 2P} right)}^2} + {P^2}} right] left[ {{{ left( {x - 1} right)}^2} + {y^2}} right] ] [ Rightarrow { left( {3P - 12} right)^2} le { left( {8 - 2P} right)^2} + {P^2} ] [ Leftrightarrow 4{P^2} - 40P + 80 le 0 ] [ Leftrightarrow 5 - sqrt 5 le P le 5 + sqrt 5 approx 7,23 ] Dấu “=” xảy ra [ Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{c}}{ frac{{8 - 2P}}{P} = frac{{x - 1}}{y} = - frac{2}{{ sqrt 5 }}} {{{ left( {x - 1} right)}^2} + {y^2} = 1} end{array}} right. Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 = - frac{2}{{ sqrt 5 }}y} { frac{9}{5}{y^2} = 1} end{array}} right. Leftrightarrow left { { begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 mp frac{2}{3}} {y = pm frac{{ sqrt 5 }}{3}} end{array}} right. ] [ Rightarrow max P = 5 + sqrt 5 ] đạt được khi [x = frac{1}{3};y = frac{{ sqrt 5 }}{3} ].