Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng \[\frac{3}{2}\] chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \[54\sqrt 3 \pi \left( {d{m^3}} \right).\] Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?

Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {3 - 5x} \right)^4}.\]

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + 4\] trên đoạn \[\left[ { - 1;3} \right]\]. Giá trị của biểu thức \[P = {M^2} - {m^2}\] là

Tính diện tích S của phần hình phẳng gạch sọc (như hình vẽ bên dưới) giới hạn bởi đồ thị của hàm số bậc ba \[y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\] và trục hoành.

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {3{x^4} + m{x^3} + 1} \right)\] với mọi \[x \in \mathbb{R}.\] Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)?\]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):x + y - z - 2 = 0,\] \[\left( Q \right):x + 3y - 12 = 0\] đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}.\] Viết phương trình mặt phẳng \[\left( R \right)\] chứa đường thẳng d và giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( P \right),\left( Q \right).\]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của đường thẳng \[d:\;\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\] trên mặt phẳng \[\left( P \right):\;x - 3y + 2z + 6 = 0?\]

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\] và có bảng biến thiên như hình dưới:

Hỏi phương trình \[3\left| {f(x)} \right| - 10 = 0\] có bao nhiêu nghiệm?