Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {3{x^4} + m{x^3} + 1} \right)\] với mọi \[x \in \mathbb{R}.\] Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\] đồng biến trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)?\]
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án B
Ta có: \(g'\left( x \right) = 2{\rm{x}}.f'\left( {{x^2}} \right) = 2{\rm{x}}.{x^4}.{\left( {{x^2} - 1} \right)^2}.\left( {3{{\rm{x}}^8} + m{{\rm{x}}^6} + 1} \right)\)
Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0\;\left( {\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)} \right)\)
\( \Leftrightarrow 3{x^8} + m{x^6} + 1 \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow h\left( x \right) = 3{x^2} + \frac{1}{{{x^6}}} + m \ge 0\;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow \mathop {Min}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} h\left( x \right) \ge 0\) (*)
Mặt khác với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) thì \(3{x^2} + \frac{1}{{{x^6}}} = {x^2} + {x^2} + {x^2} + \frac{1}{{{x^6}}} \ge 4\sqrt[4]{{{x^2}.{x^2}.{x^2}.\frac{1}{{{x^6}}}}} = 4\)
Do đó (*) \( \Leftrightarrow 4 + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 4\)
Kết hợp \(m{ \in ^{{\rm{ }} + }} \Rightarrow m = \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}.\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = - \frac{{{{\left( {3 - 5x} \right)}^5}}}{5}} + C.\]
B. \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = - \frac{{{{\left( {3 - 5x} \right)}^5}}}{{25}}} + C.\]
C. \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{{{{\left( {3 - 5x} \right)}^5}}}{{25}}} + C.\]
D. \[\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = - 20{{\left( {3 - 5x} \right)}^3}} + C.\]
Lời giải
Đáp án B
Ta có \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \int {{{\left( {3 - 5{\rm{x}}} \right)}^4}d{\rm{x}}} = \frac{1}{5}\int {{{\left( {5{\rm{x}} - 3} \right)}^4}d\left( {5{\rm{x}} - 3} \right)} = \frac{{\left( {5{\rm{x}} - {3^5}} \right)}}{{25}} + C\).
Lời giải
Đáp án C
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Hàm số \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 4\) liên tục và có đạo hàm trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\).
Đạo hàm: \(y' = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}}\).
Xét \(y' = 0 \Rightarrow 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ { - 1;3} \right]\\x = 2 \in \left[ { - 1;3} \right]\end{array} \right.\).
Ta có: \(y\left( { - 1} \right) = 0,{\rm{ y}}\left( 0 \right) = 4,{\rm{ y}}\left( 2 \right) = 0,{\rm{ y}}\left( 3 \right) = 4\).
Suy ra: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = 4,{\rm{ }}m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = 0\) nên \(T = {M^2} - {m^2} = 16\).
Câu 3
A. \[S = \frac{{31\pi }}{5}\]
B. \[S = \frac{{27}}{4}\]
C. \[S = \frac{{19}}{3}\]
D. \[S = \frac{{31}}{5}\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \[\left( R \right):5x + y - 7z - 1 = 0.\]
B. \[\left( R \right):x + 2y - z + 2 = 0.\]
C. \[\left( R \right):x + 2y - z = 0.\]
D. \[\left( R \right):15x + 11y - 17z - 10 = 0.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 31t\\y = 1 + 5t\\z = - 2 - 8t\end{array} \right..\]
B. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 31t\\y = 1 + 5t\\z = - 2 - 8t\end{array} \right..\]
C. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 31t\\y = 3 + 5t\\z = - 2 - 8t\end{array} \right..\]
D. \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 31t\\y = 1 + 5t\\z = 2 - 8t\end{array} \right..\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. 2 nghiệm.
B. 4 nghiệm.
C. 3 nghiệm.
D. 1 nghiệm.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo