Chứng minh rằng phương trình m(x - 1)³(x² - 4) + x⁴ - 3 = 0 luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

Ta có:

+) f (x) = m(x - 1)³(x² - 4) + x⁴ - 3 = 0 liên tục trên ℝ nên f (x) liên tục trên đoạn [-2; 1] (1)

Mặt khác:

+) f(–2) = m(–2 – 1)³ . [(–2)² – 4] + (–2)⁴ – 3 = 13;

+) f(1) = m(1 – 1)³ . (1² – 4) + 1⁴ – 3 = –2.

 Do đó f (-2).f (1) = 13.(-2) = - 26 < 0 (2)

Từ (1) và (2) nên f (x) = 0 cho ít nhất 1 nghiệm x thuộc [-2; 1] (*)

+) f (x) = m(x - 1)³(x² - 4) + x⁴ - 3 = 0 liên tục trên ℝ nên f (x) liên tục trên đoạn [1; 2] (3)

Ta lại có:

+) f(2) = m.(2 – 1)³ . (2² – 4) + 2⁴ – 3 = 13;

+) f(1) = m(1 – 1)³ . (1² – 4) + 1⁴ – 3 = –2.

Do đó f (2).f (1) = 13.(-2) = - 26 < 0 (4)

Từ (3) và (4) nên f (x) = 0 cho ít nhất 1 nghiệm x thuộc [1; 2] (**)

Từ (*) và (**) nên suy ra f (x) = 0 cho ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc [-2; 2]

Vậy phương trình m(x - 1)³(x² - 4) + x⁴ - 3 = 0 luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.