Cho x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) và x + y + z ≠ 0; xyz ≠ 0. Chứng minh đẳng thức 11+a+11+b+11+c=2 .

x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) và x +y + z ≠ 0; xyz ≠ 0. Lấy (1) trừ (2), ta được: x – y = (by + cz) − (ax + cz) Û x – y = by – ax + cz – cz Û x – y = by – ax Û x + ax = by + y Û x(a + 1) = y(b + 1) (*) Lấy (2) trừ (3), ta được: y – z = (ax + cz) − (ax + by) Û y – z = ax – ax + cz – by Û y – z = cz – by Û y + by = z + cz Û y(b + 1) = z (c + 1) (**) Lấy (1) trừ (3), ta được: x – z = (by + cz) − (ax + by) Û x – z by – by + cz – ax Û x – z = cz – ax Û x + ax = cz + z Û x(1 + a) = z(c + 1) (***) Từ (*), (**), (***) suy ra: x(a + 1) = y(b + 1) = z(c + 1) Đặt x(a + 1) = y(b + 1) = z(c + 1) = t ⇒a+1=txb+1=tyc+1=tz (do x, y, z ≠ 0) Thay vào biểu thức 11+a+11+b+11+c , ta được: 1tx+1ty+1tz=xt+yt+zt=x+y+zt⇒11+a+11+b+11+c=x+y+zt Với x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) t = x(a+1) = ax + x = ax + by + cz Ta có: x+y+zt=by+cz+ax+cz+ax+byax+by+cz =ax+ax+by+by+cz+czax+by+cz=2ax+2by+2czax+by+cz=2ax+by+czax+by+cz=2 Vậy 11+a+11+b+11+c=2 .

Câu hỏi:

13/07/2024 2,379

Cho x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) và x + y + z ≠ 0; xyz ≠ 0.
Chứng minh đẳng thức $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất) !!

Sách mới 2k7: Sổ tay Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 30k).

Sổ tay Toán-lý-hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) và x +y + z ≠ 0; xyz ≠ 0.

Lấy (1) trừ (2), ta được:

x – y = (by + cz) − (ax + cz)

Û x – y = by – ax + cz – cz

Û x – y = by – ax

Û x + ax = by + y

Û x(a + 1) = y(b + 1) (*)

Lấy (2) trừ (3), ta được:

y – z = (ax + cz) − (ax + by)

Û y – z = ax – ax + cz – by

Û y – z = cz – by

Û y + by = z + cz

Û y(b + 1) = z (c + 1) (**)

Lấy (1) trừ (3), ta được:

x – z = (by + cz) − (ax + by)

Û x – z by – by + cz – ax

Û x – z = cz – ax

Û x + ax = cz + z

Û x(1 + a) = z(c + 1) (***)

Từ (*), (**), (***) suy ra: x(a + 1) = y(b + 1) = z(c + 1)

Đặt x(a + 1) = y(b + 1) = z(c + 1) = t

$\Rightarrow \{\begin{matrix} a + 1 = \frac{t}{x} \\ b + 1 = \frac{t}{y} \\ c + 1 = \frac{t}{z} \end{matrix}$ (do x, y, z ≠ 0)

Thay vào biểu thức $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c}$ , ta được:

$\frac{1}{\frac{t}{x}} + \frac{1}{\frac{t}{y}} + \frac{1}{\frac{t}{z}} = \frac{x}{t} + \frac{y}{t} + \frac{z}{t} = \frac{x + y + z}{t} \Rightarrow \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = \frac{x + y + z}{t}$

Với x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3)

t = x(a+1) = ax + x = ax + by + cz

Ta có:

\frac{x + y + z}{t} = \frac{b y + c z + a x + c z + a x + b y}{a x + b y + c z}

= \frac{a x + a x + b y + b y + c z + c z}{a x + b y + c z} = \frac{2 a x + 2 b y + 2 c z}{a x + b y + c z} = \frac{2 (a x + b y + c z)}{a x + b y + c z} = 2

Vậy

\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC, vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường cao AH (H Î BC). Lấy điểm D sao cho H là trung điểm BD.

a) Chứng minh ∆ABC $∽$ ∆HBA;

b) Qua C dựng đường thẳng vuông góc với tia AD, cắt AD tại E. Chứng minh AH.CD = CE.AD;

c) Chứng minh ∆HDE $∽$ ∆ADC và BD.AC = 2AD.HE;

d) AH cắt CE tại F. Chứng minh AF²= 2BF.AE.

Xem đáp án » 13/07/2024 21,359

Câu 2:

Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/h. Khi từ B trở về A người đó đi theo con đường khác ngắn hơn con đường cũ là 5 km và vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 2 km/h. Tính chiều dài quãng đường AB lúc đi biết thời gian lúc đi ít hơn thời gian lúc về là 40 phút.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,961

Câu 3:

a) Tìm x trên hình vẽ biết DE ̸̸̸̸ ̸ BC.

b) Tính y trong hình biết AD là tia phân giác góc $\hat{B A C}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 2,177

Câu 4:

Giải phương trình:

a) 7 + 2x = 32 – 3x;

b) $\frac{x + 4}{5} - x + 4 = \frac{x}{3} - \frac{x - 2}{2}$ ;

c) x² + (x + 3)(x – 5) = 9;

d) $\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{3}{x + 2} + \frac{3 x + 10}{4 - x^{2}} = 0$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 1,186

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP