Cho x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) và x + y + z ≠ 0; xyz ≠ 0. Chứng minh đẳng thức 11+a+11+b+11+c=2 .

x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) và x +y + z ≠ 0; xyz ≠ 0. Lấy (1) trừ (2), ta được: x – y = (by + cz) − (ax + cz) Û x – y = by – ax + cz – cz Û x – y = by – ax Û x + ax = by + y Û x(a + 1) = y(b + 1) (*) Lấy (2) trừ (3), ta được: y – z = (ax + cz) − (ax + by) Û y – z = ax – ax + cz – by Û y – z = cz – by Û y + by = z + cz Û y(b + 1) = z (c + 1) (**) Lấy (1) trừ (3), ta được: x – z = (by + cz) − (ax + by) Û x – z by – by + cz – ax Û x – z = cz – ax Û x + ax = cz + z Û x(1 + a) = z(c + 1) (***) Từ (*), (**), (***) suy ra: x(a + 1) = y(b + 1) = z(c + 1) Đặt x(a + 1) = y(b + 1) = z(c + 1) = t ⇒a+1=txb+1=tyc+1=tz (do x, y, z ≠ 0) Thay vào biểu thức 11+a+11+b+11+c , ta được: 1tx+1ty+1tz=xt+yt+zt=x+y+zt⇒11+a+11+b+11+c=x+y+zt Với x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) t = x(a+1) = ax + x = ax + by + cz Ta có: x+y+zt=by+cz+ax+cz+ax+byax+by+cz =ax+ax+by+by+cz+czax+by+cz=2ax+2by+2czax+by+cz=2ax+by+czax+by+cz=2 Vậy 11+a+11+b+11+c=2 .

Câu hỏi:

13/07/2024 2,619

Cho x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) và x + y + z ≠ 0; xyz ≠ 0.
Chứng minh đẳng thức $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất) !!

Hot: Đề thi cuối kì 2 Toán, Văn, Anh.... file word có đáp án chi tiết lớp 1-12 form 2025 (chỉ từ 100k).

Tải ngay

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) và x +y + z ≠ 0; xyz ≠ 0.

Lấy (1) trừ (2), ta được:

x – y = (by + cz) − (ax + cz)

Û x – y = by – ax + cz – cz

Û x – y = by – ax

Û x + ax = by + y

Û x(a + 1) = y(b + 1) (*)

Lấy (2) trừ (3), ta được:

y – z = (ax + cz) − (ax + by)

Û y – z = ax – ax + cz – by

Û y – z = cz – by

Û y + by = z + cz

Û y(b + 1) = z (c + 1) (**)

Lấy (1) trừ (3), ta được:

x – z = (by + cz) − (ax + by)

Û x – z by – by + cz – ax

Û x – z = cz – ax

Û x + ax = cz + z

Û x(1 + a) = z(c + 1) (***)

Từ (*), (**), (***) suy ra: x(a + 1) = y(b + 1) = z(c + 1)

Đặt x(a + 1) = y(b + 1) = z(c + 1) = t

$\Rightarrow \{\begin{matrix} a + 1 = \frac{t}{x} \\ b + 1 = \frac{t}{y} \\ c + 1 = \frac{t}{z} \end{matrix}$ (do x, y, z ≠ 0)

Thay vào biểu thức $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c}$ , ta được:

$\frac{1}{\frac{t}{x}} + \frac{1}{\frac{t}{y}} + \frac{1}{\frac{t}{z}} = \frac{x}{t} + \frac{y}{t} + \frac{z}{t} = \frac{x + y + z}{t} \Rightarrow \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = \frac{x + y + z}{t}$

Với x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3)

t = x(a+1) = ax + x = ax + by + cz

Ta có:

\frac{x + y + z}{t} = \frac{b y + c z + a x + c z + a x + b y}{a x + b y + c z}

= \frac{a x + a x + b y + b y + c z + c z}{a x + b y + c z} = \frac{2 a x + 2 b y + 2 c z}{a x + b y + c z} = \frac{2 (a x + b y + c z)}{a x + b y + c z} = 2

Vậy

\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Sách - Sổ tay Toán 8 (Takenote) cho cả 3 bộ Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều VietJack

Đã bán 212

₫ 60.000 ₫ 30.000

Hà Nội

Trọng tâm Toán, Anh, KHTN lớp 8 cho cả 3 bộ Kết nối, Chân trời, Cánh diều VietJack - Sách 2025

Đã bán 374

₫ 130.000 ₫ 60.000

Hà Nội

Combo 2 sách Trọng tâm Văn - Sử - Địa - GDCD và Toán - Anh - KHTN lớp 8 cho cả 3 bộ KNTT; CTST; CD VietJack

Đã bán 287

₫ 230.000 ₫ 120.000

Hà Nội

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh VietJack

Đã bán 1k

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Bình luận

Nguyễn Gia Huy
20:37 - 19/03/2025

U mũ là cái gì v ạ

0
Trả lời

Xem thêm ...

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho tam giác ABC, vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường cao AH (H Î BC). Lấy điểm D sao cho H là trung điểm BD.

a) Chứng minh ∆ABC $∽$ ∆HBA;

b) Qua C dựng đường thẳng vuông góc với tia AD, cắt AD tại E. Chứng minh AH.CD = CE.AD;

c) Chứng minh ∆HDE $∽$ ∆ADC và BD.AC = 2AD.HE;

d) AH cắt CE tại F. Chứng minh AF²= 2BF.AE.

Xem đáp án » 13/07/2024 24,323

Câu 2:

Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/h. Khi từ B trở về A người đó đi theo con đường khác ngắn hơn con đường cũ là 5 km và vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 2 km/h. Tính chiều dài quãng đường AB lúc đi biết thời gian lúc đi ít hơn thời gian lúc về là 40 phút.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,482

Câu 3:

a) Tìm x trên hình vẽ biết DE ̸̸̸̸ ̸ BC.

b) Tính y trong hình biết AD là tia phân giác góc $\hat{B A C}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 2,576

Câu 4:

Giải phương trình:

a) 7 + 2x = 32 – 3x;

b) $\frac{x + 4}{5} - x + 4 = \frac{x}{3} - \frac{x - 2}{2}$ ;

c) x² + (x + 3)(x – 5) = 9;

d) $\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{3}{x + 2} + \frac{3 x + 10}{4 - x^{2}} = 0$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 1,268

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) và x + y + z ≠ 0; xyz ≠ 0. Chứng minh đẳng thức 11+a+11+b+11+c=2 .

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Nguyễn Gia Huy 20:37 - 19/03/2025

a) Tìm x trên hình vẽ biết DE ̸̸̸̸ ̸ BC. b) Tính y trong hình biết AD là tia phân giác góc BAC^.

Giải phương trình: a) 7 + 2x = 32 – 3x; b) x+45−x+4=x3−x−22 ; c) x2 + (x + 3)(x – 5) = 9; d) x+2x−2−3x+2+3x+104−x2=0 .

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho x = by + cz (1); y = ax + cz (2); z = ax + by (3) và x + y + z ≠ 0; xyz ≠ 0.
Chứng minh đẳng thức $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} = 2$ .

Nguyễn Gia Huy
20:37 - 19/03/2025

a) Tìm x trên hình vẽ biết DE ̸̸̸̸ ̸ BC.

b) Tính y trong hình biết AD là tia phân giác góc $\hat{B A C}$ .

Giải phương trình:

a) 7 + 2x = 32 – 3x;

b) $\frac{x + 4}{5} - x + 4 = \frac{x}{3} - \frac{x - 2}{2}$ ;

c) x² + (x + 3)(x – 5) = 9;

d) $\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{3}{x + 2} + \frac{3 x + 10}{4 - x^{2}} = 0$ .