Cho I = $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\text{x}$ = 3. Khi đó J = $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[4\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-3\right]\mathrm{d}\text{x}$ bằng:

Đáp án đúng là C

Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:

S = $\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\left|\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right|\mathrm{d}\text{x}$

Vậy nên diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x³ + 2x + 1, trục hoành, x = 1 và x = 2 là:

S = $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|{\mathrm{x}}^3+2\mathrm{x}+1\right|\mathrm{d}\text{x}$.

Vì x³ + 2x + 1 > 0 khi x Î [1; 2] nên | x³ + 2x + 1| = x³ + 2x + 1.

Do đó: 

$$\begin{gathered} \mathrm{S}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|{\mathrm{x}}^3+2\mathrm{x}+1\right|\mathrm{dx} =\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\mathrm{x}}^3+2\mathrm{x}+1\right)\mathrm{d}\text{x} \\ ={\left.\left(\frac{{\mathrm{x}}^4}{4}+{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}\right)\right|}_1^2=\frac{2^4}{4}+2^2+2-\left(\frac{1^4}{4}+1^2+1\right) \\ =\frac{31}{4} \end{gathered}$$

Đáp án đúng là D

Ta có:

x_G = $\frac{{\mathrm{x}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{B}}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{O}}}{3}$ = $\frac{1+2+0}{3}$ = 1;

y_G = $\frac{{\mathrm{y}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{y}}_{\mathrm{B}}+{\mathrm{y}}_{\mathrm{O}}}{3}$ = $\frac{2+4+0}{3}$ = 2;

z_G = $\frac{{\mathrm{z}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{z}}_{\mathrm{B}}+{\mathrm{z}}_{\mathrm{O}}}{3}$ = $\frac{4-1+0}{3}$ = 1.

Vậy tọa độ điểm G là G (1; 2; 1).