Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = \sqrt x \], cung tròn có phương trình \[y = \sqrt {6 - {x^2}} \] \[\left( { - \sqrt 6 \le x \le \sqrt 6 } \right)\] và trục hoành (phần gạch chéo). Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox.

Đáp án D

Xét phương trình \(\sqrt x = \sqrt {6 - {x^2}} \Leftrightarrow x = 2.\)

Gọi \(\left( A \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ;y = 0;x = 0;x = 2.\)

Quay \(\left( A \right)\) quanh trục hoành ta được vật thể tròn xoay có thể tích

\({V_1} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}dx} = \pi .\frac{{{x^2}}}{2}\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. = 2\pi \)

Gọi \(\left( B \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường

\(y = \sqrt {6 - {x^2}} ;y = 0;x = 2;x = \sqrt 6 .\)

Quay \(\left( B \right)\) quanh trục honàh ta được vật thể tròn xoay có thể tích

\({V_2} = \pi \int\limits_2^{\sqrt 6 } {{{\left( {\sqrt {6 - {x^2}} } \right)}^2}dx} = \pi \left( {6x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle2}^{\scriptstyle\sqrt 6 \atop\scriptstyle}} \right. = \pi \left( {6\sqrt 6 - 2\sqrt 6 } \right) - \frac{{28\pi }}{3} = 4\pi \sqrt 6 - \frac{{28\pi }}{3}.\)

Cung tròn khi quay quanh Ox tạo thành một khối cầu có thể tích

\(V = \frac{4}{3}\pi {\left( {\sqrt 6 } \right)^3} = 8\pi \sqrt 6 .\)

Thể tích cần tính là \(V - \left( {{V_1} + {V_2}} \right) = 4\pi \sqrt 6 + \frac{{22\pi }}{3}.\)