Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số \[y = f\left[ {f\left( x \right)} \right]\].

Đáp án C

Cách 1:

Xét \[f'\left( x \right) = ax\left( {x - 2} \right) \Rightarrow f\left( x \right) = a\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right) + b\].

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 0\\f\left( 2 \right) = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\ - \frac{4}{3}a = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3x\left( {x - 2} \right)\\f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\\y = f\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)\end{array} \right.\\y' = \left( {3{x^2} - 6x} \right).f'\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right) = 3x\left( {x - 2} \right).3\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)\left( {{x^3} - 3{x^2} - 2} \right) = 9{x^3}\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {{x^3} - 3{x^2} - 2} \right)\end{array}\]

Ta có \[{x^3} - 3{x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 2 \Rightarrow y' = 0\] có 1 nghiệm đơn \[x = {x_0}\] khác \[x = 0;x = 2;x = 3\].

Như vậy tổng số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của \[y' = 0\] là 4. Chọn C.

Cách 2:

Ta có \[y' = f'\left( x \right).f'\left[ {f\left( x \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\\f'\left[ {f\left( x \right)} \right] = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 2\end{array} \right.\].

Phương trình \[f\left( x \right) = 0\] có 1 nghiệm kép \[x = 0\] và 1 nghiệm đơn \[x = a\;\left( {a > 2} \right)\].

Phương trình \[f\left( x \right) = 2\] có 1 nghiệm đơn \[x = b\;\left( {b > a} \right)\].

Như vậy \[y' = 0\] có tất cả 4 nghiệm đơn (nghiệm bội lẻ) là \[x = 0;x = 2;x = a;x = b\].