Trên một cạnh của một góc có đỉnh A đặt đoạn thẳng AE=3cm, AC=8cm. Trên cạnh thứ hai của góc đó, đặt các đoạn thẳng AD=4cm, AF=6cm

a)     Chứng minh $\Delta ACD~\Delta AEF$

b)    Gọi I là giao điểm của CD và EF .Tính tỉ số của hai tam giác IDF  và IEC

a)     Xét $\Delta BDC$ và $\Delta EDB$ có: $\angle BDCchung;\angle BCD=\angle DBE={90}^0$

$\Rightarrow \Delta BDC~\Delta EDB(g.g)\Rightarrow \frac{BD}{ED}=\frac{DC}{BD}\Rightarrow B{D}^2=DC.DE\left(dfcm\right)$

b)    Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\left\{\begin{array}{l}CD=AB=4cm\\ BC=AD=3cm\end{array}\right.\Rightarrow B{D}^2=\sqrt{B{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{25}=5\left(cm\right)$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta DBE$ có: $B{C}^2=CD.CE\Rightarrow CE=\frac{B{C}^2}{CD}=\frac{3^2}{4}=\frac{9}{4}\left(cm\right)$

c)     Vì $\left\{\begin{array}{l}CF\perp BE\\ BD\perp BE\end{array}\right.\Rightarrow CF//BD$

Ta có: $\Delta OEB$ có $IF//OB\Rightarrow \frac{IF}{OB}=\frac{IE}{OE}\left(1\right)$

$\Delta OED$có $IC//OD\Rightarrow \frac{IC}{OD}=\frac{IE}{OE}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{IF}{OB}=\frac{IC}{OC}$

Mà $OB=OD\left(hcnhat\right)\Rightarrow IF=IC$

Vậy I là trung điểm CF

d)    Xét $\Delta BKD$ và $\Delta CKF$ có: $\angle DBC=\angle BCF\left(do\Delta BCD~\Delta CFB\right)$

$\Rightarrow \frac{BD}{CF}=\frac{2BO}{2CI}=\frac{BO}{CI}=\frac{BK}{CK}$(hệ quả Ta let) 

$\Rightarrow \Delta BKD~\Delta KCF\left(cgc\right)\Rightarrow \angle BKD=\angle CKF$

Vậy$D,K,F$ thẳng hàng.