Cho hình chữ nhật có $AB=4cm,BC=3cm.$  Qua vẽ đường thẳng vuông góc với $BD$   cắt DC tại E

a)     Chứng minh từ $\Delta BDC~\Delta EDB,$đó suy ra : $D{B}^2=DC.DE$

b)    Tính $DB,CE$

c)     Vẽ $CF\perp BE$tại F. Gọi O là giao điểm của AC và BD.  Nối OE cắt CF tại I và cắt BC tại K. Chứng minh I là trung điểm

d)    Chứng minh $D,K,F$  thẳng hàng.

a)     Xét $\Delta BDC$ và $\Delta EDB$ có: $\angle BDCchung;\angle BCD=\angle DBE={90}^0$

$\Rightarrow \Delta BDC~\Delta EDB(g.g)\Rightarrow \frac{BD}{ED}=\frac{DC}{BD}\Rightarrow B{D}^2=DC.DE\left(dfcm\right)$

b)    Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\left\{\begin{array}{l}CD=AB=4cm\\ BC=AD=3cm\end{array}\right.\Rightarrow B{D}^2=\sqrt{B{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{25}=5\left(cm\right)$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta DBE$ có: $B{C}^2=CD.CE\Rightarrow CE=\frac{B{C}^2}{CD}=\frac{3^2}{4}=\frac{9}{4}\left(cm\right)$

c)     Vì $\left\{\begin{array}{l}CF\perp BE\\ BD\perp BE\end{array}\right.\Rightarrow CF//BD$

Ta có: $\Delta OEB$ có $IF//OB\Rightarrow \frac{IF}{OB}=\frac{IE}{OE}\left(1\right)$

$\Delta OED$có $IC//OD\Rightarrow \frac{IC}{OD}=\frac{IE}{OE}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{IF}{OB}=\frac{IC}{OC}$

Mà $OB=OD\left(hcnhat\right)\Rightarrow IF=IC$

Vậy I là trung điểm CF

d)    Xét $\Delta BKD$ và $\Delta CKF$ có: $\angle DBC=\angle BCF\left(do\Delta BCD~\Delta CFB\right)$

$\Rightarrow \frac{BD}{CF}=\frac{2BO}{2CI}=\frac{BO}{CI}=\frac{BK}{CK}$(hệ quả Ta let) 

$\Rightarrow \Delta BKD~\Delta KCF\left(cgc\right)\Rightarrow \angle BKD=\angle CKF$

Vậy$D,K,F$ thẳng hàng.