Một hộp đựng phấn hình hộp chữ nhật có chiều dài 30cm, chiều rộng 5cm và chiều cao 6cm. Người ta xếp thẳng đứng vào đó các viên phấn giống nhau, mỗi viên phấn là khối trụ có chiều cao h=6cm và bán kính đáy $r=\frac{1}{2}cm$. Hỏi có thể xếp được tối đa bao nhiêu viên phấn.

Xét quả bóng tiếp xúc với các bức tường và chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ bên (tương tự với góc tường còn lại).

Gọi I(a;a;a) là tâm của mặt cầu (tâm quả bóng) và R=a.

⇒ phương trình mặt cầu của quả bóng là

$\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-a\right)}^2+{\left(z-a\right)}^2=a^2\left(1\right).$

Giả sử M(x;y;z) nằm trên mặt cầu (bề mặt của quả bóng) sao cho

Khi đó $z=1;x=2;y=3\Rightarrow M\left(2;3;1\right)\in \left(S\right)\left(2\right).$

Từ (1),(2) suy ra ${\left(1-a\right)}^2+{\left(2-a\right)}^2+{\left(4-a\right)}^2=a^2$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{R}_1=a_1=\frac{7-\sqrt{7}}{2}\\ R_2=a_2=\frac{7+\sqrt{7}}{2}\end{array}\right.\Rightarrow d_1+d_2=2(R_1+R_2)=14$
Đáp án cần chọn là: B

Ta có đường kính mặt cầu là 60.2=120(cm).

Mà khoảng cách giữa hai đáy của thùng rượu là 80cm

Nên chiều cao chỏm cầu là $h=\frac{120-80}{2}=20\left(cm\right).$
Thế tích của 1 chỏm cầu chiều cao h = 20 và bán kính 60cm là

$V_{cc}=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)=\pi {.20}^2\left(60-\frac{20}{3}\right)=\frac{64000}{3}\pi \left(c{m}^3\right)=\frac{64\pi }{3}\left(l\right)$

Thể tích của cả khối cầu bán kính 60 cm là $V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi {.60}^3=288000\pi \left(c{m}^3\right)=288\pi \left(l\right)$

Khi đó thể tích thùng rượu là $V^{\text{'}}=V-2V_{cc}=\frac{736}{3}\pi \left(l\right)\approx 771\left(l\right).$

Đáp án cần chọn là: A