Câu hỏi:

05/08/2022 382

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp thành hai hình đa diện (H) và (H′) trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số thể tích đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H′).

A. $\frac{25}{47}$

B. $\frac{25}{72}$

C. $\frac{47}{25}$

D. $\frac{72}{47}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Thể tích khối hộp !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Mặt phẳng (AEF) chứa $E F / / B D \subset (A B C D)$

⇒ Giao tuyến của (AEF) và (ABCD) là đường thẳng đi qua A và song song với EF

Trong (ABCD) qua A kẻ $H I / / B D (H \in B C, I \in C D)$

Trong (BCC′B′) gọi $L = E H \cap B B^{'}$ , trong (CDD′C′) gọi $M = F I \cap D D^{'}$ , khi đó $(A E F) \equiv (A L E F M)$

Ta có : $\{\begin{matrix} (A E F) \cap (B C C' B') = H E \\ (A E F) \cap (C D D' C') = F I \\ (B C C' B') \cap (C D D' C') = C C' \end{matrix}$

$\Rightarrow H E, F I, C C^{'}$ đồng quy tại N.

Ta có : $V_{H^{'}} = V_{N . C I H} - V_{N . E F C^{'}} - V_{L . A B H} - V_{M . A D I}$

Ta dễ dàng chứng minh được B,D lần lượt là trung điểm của

C H, C I \Rightarrow B D = \frac{1}{2} H I \Rightarrow E F = \frac{1}{2} B D = \frac{1}{4} H I

$\Rightarrow Δ C^{'} E F$ đồng dạng với $Δ C I H$ theo tỉ số đồng dạng $k = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{S_{Δ C^{'} E F}}{S_{Δ C I H}} = \frac{1}{16}$

\frac{N C'}{N C} = \frac{E C'}{H C} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{d (N'; (C' E F))}{d (N; (C I H))} = \frac{1}{4}

\Rightarrow V_{N . E F C'} = \frac{1}{16} . \frac{1}{4} V_{N . C I H} = \frac{1}{16} V_{N . C I H}

V_{L A B H} = V_{M . A D I} = \frac{1}{2} . \frac{1}{4} V_{N . C I H} = \frac{1}{8} V_{N . C I H}

\Rightarrow V_{H'} = V_{N . C I H} - V_{N . E F C'} - V_{L . A B H} - V_{M . A D I} = \frac{47}{64} V_{N . C I H}

Ta có :

\begin{array}{l} \frac{C C'}{N C} = \frac{3}{4}, \frac{S_{A B C D}}{S_{C I H}} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{V_{A B C D . A' B' C' D'}}{V_{S . C I H}} = \frac{d_{(C'; (A B C D))} . S_{A B C D}}{\frac{1}{3} d (N; (C I H)) . S_{C I H}} = 3 \frac{C C'}{N C} . \frac{S_{A B C D}}{S_{C I H}} = 3. \frac{3}{4} . \frac{1}{2} = \frac{9}{8} \end{array}

$\Rightarrow V_{S . C I H} = \frac{8}{9} V_{A B C D . A' B' C' D'}$

$\Rightarrow V_{H'} = \frac{47}{64} V_{N . C I H} = \frac{47}{72} V_{A B C D . A' B' C' D'}$

$\Rightarrow V_{H} = \frac{25}{72} V_{A B C D . A' B' C' D'}$

$\Rightarrow \frac{V_{H}}{V_{H'}} = \frac{25}{47}$

Đáp án cần chọn là: A

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, $B D = 2 a$ , góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30⁰. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

A. $6 \sqrt{3} a^{3} .$

B. $\frac{2 \sqrt{3}}{9} a^{3} .$

C. $2 \sqrt{3} a^{3} .$

D. $\frac{2 \sqrt{3}}{3} a^{3} .$

Lời giải

* Xác định $∠ ((A^{'} B D); (A B C D))$

+ $(A^{'} B C) \cap (A B C D) = B D$

+ $\{\begin{matrix} A A' ⊥ B D \\ A O ⊥ B D \end{matrix} \Rightarrow (A' A O) ⊥ B D$

+ $\{\begin{matrix} (A' A O) \cap (A' B D) = A' O \\ (A' A O) \cap (A B C D) = A O \end{matrix}$

$\Rightarrow ∠ ((A^{'} B D); (A B C D)) = ∠ (A^{'} O; A O) = ∠ A^{'} O A$

$\Rightarrow ∠ A^{'} O A = 30^{0}$

* Xét tam giác A′OA vuông tại A có $A O = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} B D = a$

$\Rightarrow A A^{'} = \tan 30^{0} . A O = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = S_{A B C D} . A A^{'} = \frac{1}{2} A C . B D . A A^{'}$

$= \frac{1}{2} . {(2 a)}^{2} . \frac{a \sqrt{3}}{3} = \frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{3}$

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: D

Câu 2

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có $A B = a$ , đường thẳng A′B tạo với mặt phẳng $(B C C' B')$ một góc 30⁰. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

A. $\frac{3 a^{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$

C. $\frac{3 a^{3}}{4}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Lời giải

Media VietJack

Gọi M là trung điểm của B′C′. Vì $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ đều nên $A^{'} M ⊥ B^{'} C^{'}$

Ta có: $\{\begin{matrix} A' M ⊥ B' C' \\ A' M ⊥ B B' (B B' ⊥ (A' B' C')) \end{matrix} \Rightarrow A^{'} M ⊥ (B C C^{'} B^{'})$

⇒BM là hình chiếu của A′M lên (BCC′B′)

$\Rightarrow ∠ (A^{'} B; (B C C^{'} B^{'})) = ∠ (A^{'} B; M B) = ∠ A^{'} B M = 30^{0}$

Theo bài ra ta có $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ đều cạnh a nên $A^{'} M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ và $S_{Δ A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Ta có: $A^{'} M ⊥ (B C C^{'} B^{'}) \Rightarrow A^{'} M ⊥ B M \Rightarrow Δ A^{'} B M$ vuông tại M

\Rightarrow B M = A^{'} M . \cot 30^{0} = \frac{3 a}{2}

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BB′M ta có:

B B^{'} = \sqrt{B M^{2} - B B^{' 2}} = \sqrt{{(\frac{3 a}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = a \sqrt{2}

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = B B^{'} . S_{A^{'} B^{'} C^{'}} = a \sqrt{2} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$
Đáp án cần chọn là: B

Câu 3

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{A C B} = 60^{0}$ , cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30⁰. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và $A' A = A' B = A' C = a \sqrt{\frac{7}{12}}$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

A. $\frac{a^{3}}{8}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy $A B = 8$ , cạnh bên bằng $\sqrt{6}$ (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh $A B = 2 a \sqrt{2}$ . Biết $A C' = 8 a$ và tạo với mặt đáy một góc 45⁰. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

A. $\frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

B. $\frac{8 a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

C. $\frac{16 a^{3} \sqrt{3}}{3} .$

D. $\frac{16 a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là $a \sqrt{3}$ và hợp với đáy ABC một góc 60⁰. Thể tích khối lăng trụ là:

A. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{3 a^{3}}{8}$

D. $\frac{a^{3}}{8}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Trắc nghiệm Tổng hợp

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

Toán

Văn

Tiếng Anh

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Toán

Toán

Toán

Toán

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101 Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, BD=2a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 300. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có AB=a, đường thẳng A′B tạo với mặt phẳng (BCC'B') một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,ACB^=600, cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 300. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và A'A=A'B=A'C=a712 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy AB=8, cạnh bên bằng 6 (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh AB=2a2. Biết AC'=8a và tạo với mặt đáy một góc 450. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là a3 và hợp với đáy ABC một góc 600. Thể tích khối lăng trụ là:

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, $B D = 2 a$ , góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30⁰. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′có $A B = a$ , đường thẳng A′B tạo với mặt phẳng $(B C C' B')$ một góc 30⁰. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, \hat{A C B} = 60^{0}$ , cạnh BC=a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30⁰. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ là:

Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và $A' A = A' B = A' C = a \sqrt{\frac{7}{12}}$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a là:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy $A B = 8$ , cạnh bên bằng $\sqrt{6}$ (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh $A B = 2 a \sqrt{2}$ . Biết $A C' = 8 a$ và tạo với mặt đáy một góc 45⁰. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng

Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là $a \sqrt{3}$ và hợp với đáy ABC một góc 60⁰. Thể tích khối lăng trụ là: