Câu hỏi:

10/08/2022 611

Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} - A D^{2}$

B. $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$

C. $A B^{2} + C D^{2} = 2 B C^{2} + A D^{2}$

D. $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + 2 A D^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10 Bài tập Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng của vectơ hoặc về độ dài đoạn thẳng (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$A B^{2} + C D^{2} = {\vec{A B}}^{2} + {\vec{C D}}^{2} = {(\vec{A D} + \vec{D B})}^{2} + {(\vec{C B} + \vec{B D})}^{2}$

$= A D^{2} + 2 D B^{2} + B C^{2} + 2 \vec{D B} . \vec{A D} + 2 \vec{B D} . \vec{C B}$

$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} (\vec{D B} + \vec{A D} - \vec{C B})$

$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} ((\vec{A D} + \vec{D B}) - \vec{C B})$

$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} (\vec{A B} - \vec{C B})$

$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} (\vec{A B} + \vec{B C})$

$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} . \vec{A C}$

Mà AC vuông góc với BD nên ta có: $\vec{A C} . \vec{B D} = 0$

Do đó: $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{A E} . \vec{A C} + \vec{B E} . \vec{B D} = A B^{2}$

B. $\vec{A E} . \vec{A C} - \vec{B E} . \vec{B D} = A B^{2}$

C. $\vec{A E} . \vec{A C} + \vec{B E} . \vec{B D} = - A B^{2}$

D. $\vec{A E} . \vec{A C} + \vec{B E} . \vec{B D} = 2 A B^{2}$

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn (ảnh 1)

Vì AB là đường kính nên $\hat{A D B} = 90 °$ , $\hat{A C B} = 90 °$

Do đó AD ⊥ BD và AC ⊥ BC hay AD ⊥ BE và AE ⊥ BC.

Suy ra $\vec{A E} . \vec{B C} = 0, \vec{B E} . \vec{A D} = 0$

Ta có:

$\vec{A E} . \vec{A C} + \vec{B E} . \vec{B D} = A B^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{A E} (\vec{A B} + \vec{B C}) + \vec{B E} (\vec{B A} + \vec{A D}) = A B^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{A E} . \vec{A B} + \vec{A E} . \vec{B C} + \vec{B E} . \vec{B A} + \vec{B E} . \vec{A D} = A B^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{A E} . \vec{A B} + \vec{B E} . \vec{B A} = A B^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{A B} . (\vec{A E} - \vec{B E}) = A B^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{A B} . (\vec{E B} - \vec{E A}) = A B^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{A B} = A B^{2}$ $\Leftrightarrow {\vec{A B}}^{2} = A B^{2}$ (luôn đúng)

Câu 2

Cho hai điểm A, B và O là trung điểm của AB. Gọi M là một điểm tùy ý, khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} - O A^{2}$

B. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} + O A^{2}$

C. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} - 2 O A^{2}$

D. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} + 2 O A^{2}$

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do O là trung điểm AB nên $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0}$ và OA = OB, hai vectơ $\vec{O A}, \vec{O B}$ ngược hướng, do đó $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 180 °$ .

Ta có:

$\vec{M A} . \vec{M B} = (\vec{O A} - \vec{O M}) (\vec{O B} - \vec{O M})$ (quy tắc ba điểm)

$= \vec{O A} . \vec{O B} - (\vec{O A} + \vec{O B}) . \vec{O M} + {\vec{O M}}^{2}$

$= |\vec{O A}| . |\vec{O B}| . \cos (\vec{O A}, \vec{O B}) - \vec{0} . \vec{O M} + {\vec{O M}}^{2}$

$= O A . O B . \cos 180 ° - 0 + O M^{2}$

$= O M^{2} - O A^{2}$

Câu 3

Cho tam giác ABC có trực tâm H và trung điểm cạnh BC là M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{2} B C^{2}$

B. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{4} B C^{2}$

C. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{3}{4} B C^{2}$

D. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{5}{4} B C^{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

B. $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} - G B^{2} + G C^{2}$

C. $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} - G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

D. $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = - 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{4} B C^{2}$

B. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + B C^{2}$

C. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{2} B C^{2}$

D. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{3} B C^{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC, biết điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho M’ là hình chiếu của M trên BC và 3M’G’ = BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?

A. $\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} - M B^{2} + M C^{2}$

B. $\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} - M B^{2} - M C^{2}$

C. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M A} . \vec{M C} = B C^{2} - M B^{2} + M C^{2}$

D. $\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} + M B^{2} - M C^{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Cho hai điểm A, B và O là trung điểm của AB. Gọi M là một điểm tùy ý, khẳng định nào sau đây là đúng ?

Cho tam giác ABC có trực tâm H và trung điểm cạnh BC là M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC, biết điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho M’ là hình chiếu của M trên BC và 3M’G’ = BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu