Bài tập Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng của vectơ hoặc về độ dài đoạn thẳng lớp 10 (có lời giải)

37 người thi tuần này 4.6 1 K lượt thi 10 câu hỏi

🔥 Học sinh cũng đã học

52 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Phan Huy Chú (Đống Đa-Hà Nội) năm học 2022-2023 có đáp án

1 K lượt thi 30 câu hỏi

87 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Yên Viên (Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

1.1 K lượt thi 38 câu hỏi

27 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Việt Nam-Ba Lan (Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

1 K lượt thi 50 câu hỏi

37 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Phúc Lợi (Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

1 K lượt thi 24 câu hỏi

33 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Nguyễn Trãi (Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

1 K lượt thi 35 câu hỏi

87 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Ngô Thì Nhậm (Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

1.1 K lượt thi 38 câu hỏi

641 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Lam Hồng (Sóc Sơn-Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

1.6 K lượt thi 38 câu hỏi

40 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Tây Thạnh (TP.HCM) năm học 2022-2023 có đáp án

0.9 K lượt thi 9 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/10

Cho tam giác ABC có trực tâm H và trung điểm cạnh BC là M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{2} B C^{2}$

B. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{4} B C^{2}$

C. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{3}{4} B C^{2}$

D. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{5}{4} B C^{2}$

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên $\vec{A B} . \vec{H C} = 0; \vec{A C} . \vec{H B} = 0$ .

Do M là trung điểm BC nên ta có:

$2 \vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ;

$2 \vec{H M} = \vec{H B} + \vec{H C}$ .

Do đó: $4 \vec{M A} . \vec{M H} = 2 \vec{A M} .2 \vec{H M}$

$= (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{H B} + \vec{H C})$

$= \vec{A B} . \vec{H B} + \vec{A B} . \vec{H C} + \vec{A C} . \vec{H B} + \vec{A C} . \vec{H C}$

$= \vec{A B} . \vec{H B} + \vec{A C} . \vec{H C}$

$= \vec{A B} (\vec{H C} + \vec{C B}) + \vec{A C} (\vec{H B} + \vec{B C})$

$= \vec{A B} . \vec{C B} + \vec{A C} . \vec{B C}$

$= \vec{C B} (\vec{A B} - \vec{A C})$

$= \vec{C B} . \vec{C B} = C B^{2} = B C^{2}$

Vậy $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{4} B C^{2}$ .

Câu 2/10

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm O bán kính $\frac{a}{2}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = \frac{a^{2}}{4}$

B. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = a^{2}$

C. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = 2 a^{2}$

D. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = \frac{a^{2}}{2}$

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ và $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M O}$ .

Ta có:

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M O}$

$\Leftrightarrow {(\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C})}^{2} = 9 {\vec{O M}}^{2}$

$\Leftrightarrow {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2} + 2 (\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A}) = 9 {\vec{M O}}^{2}$

Mặt khác, ta lại có:

${\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2} = {(\vec{M O} + \vec{O A})}^{2} + {(\vec{M O} + \vec{O B})}^{2} + {(\vec{M O} + \vec{O C})}^{2}$

$= {\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O A} + {\vec{O A}}^{2} + {\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O B} + {\vec{O B}}^{2} + {\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O C} + {\vec{O C}}^{2}$

$= 3 {\vec{M O}}^{2} + {\vec{O A}}^{2} + {\vec{O B}}^{2} + {\vec{O C}}^{2} + 2 \vec{M O} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$

$= 3 M O^{2} + a^{2}$

Như vậy, ta được:

$3 M O^{2} + a^{2} + 2 (\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A}) = 9 M O^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = 3 M O^{2} - \frac{a^{2}}{2}$

Mà M thuộc đường tròn tâm O bán kính $\frac{a}{2}$ nên $M O = \frac{a}{2} \Rightarrow M O^{2} = \frac{a^{2}}{4}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = \frac{a^{2}}{4}$ .

Câu 3/10

Cho hai điểm A, B và O là trung điểm của AB. Gọi M là một điểm tùy ý, khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} - O A^{2}$

B. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} + O A^{2}$

C. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} - 2 O A^{2}$

D. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} + 2 O A^{2}$

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do O là trung điểm AB nên $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0}$ và OA = OB, hai vectơ $\vec{O A}, \vec{O B}$ ngược hướng, do đó $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 180 °$ .

Ta có:

$\vec{M A} . \vec{M B} = (\vec{O A} - \vec{O M}) (\vec{O B} - \vec{O M})$ (quy tắc ba điểm)

$= \vec{O A} . \vec{O B} - (\vec{O A} + \vec{O B}) . \vec{O M} + {\vec{O M}}^{2}$

$= |\vec{O A}| . |\vec{O B}| . \cos (\vec{O A}, \vec{O B}) - \vec{0} . \vec{O M} + {\vec{O M}}^{2}$

$= O A . O B . \cos 180 ° - 0 + O M^{2}$

$= O M^{2} - O A^{2}$

Câu 4/10

Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} - A D^{2}$

B. $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$

C. $A B^{2} + C D^{2} = 2 B C^{2} + A D^{2}$

D. $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + 2 A D^{2}$

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$A B^{2} + C D^{2} = {\vec{A B}}^{2} + {\vec{C D}}^{2} = {(\vec{A D} + \vec{D B})}^{2} + {(\vec{C B} + \vec{B D})}^{2}$

$= A D^{2} + 2 D B^{2} + B C^{2} + 2 \vec{D B} . \vec{A D} + 2 \vec{B D} . \vec{C B}$

$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} (\vec{D B} + \vec{A D} - \vec{C B})$

$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} ((\vec{A D} + \vec{D B}) - \vec{C B})$

$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} (\vec{A B} - \vec{C B})$

$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} (\vec{A B} + \vec{B C})$

$= B C^{2} + A D^{2} + 2 \vec{D B} . \vec{A C}$

Mà AC vuông góc với BD nên ta có: $\vec{A C} . \vec{B D} = 0$

Do đó: $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$

Câu 5/10

Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{4} B C^{2}$

B. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + B C^{2}$

C. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{2} B C^{2}$

D. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{3} B C^{2}$

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên $\vec{A B} . \vec{H C} = 0; \vec{A C} . \vec{H B} = 0$ .

Do M là trung điểm BC nên ta có:

$2 \vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A C}$

$2 \vec{H M} = \vec{H B} + \vec{H C}$

Do đó ta có:

$4 \vec{M A} . \vec{M H} = 2 \vec{A M} .2 \vec{H M}$

$= (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{H B} + \vec{H C})$

$= \vec{A B} . \vec{H B} + \vec{A B} . \vec{H C} + \vec{A C} . \vec{H B} + \vec{A C} . \vec{H C}$

$= \vec{A B} . \vec{H B} + \vec{A C} . \vec{H C}$

$= \vec{A B} (\vec{H C} + \vec{C B}) + \vec{A C} (\vec{H B} + \vec{B C})$

$= \vec{A B} . \vec{C B} + \vec{A C} . \vec{B C}$

$= \vec{C B} (\vec{A B} - \vec{A C})$

$= \vec{C B} . \vec{C B} = C B^{2} = B C^{2}$

Vậy $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{4} B C^{2}$ .

Ta có:

$A H^{2} = {\vec{A H}}^{2} = {(\vec{M H} - \vec{M A})}^{2} = {\vec{M H}}^{2} + {\vec{M A}}^{2} - 2 \vec{M A} . \vec{M H}$

$= M H^{2} + M A^{2} - 2. \frac{1}{4} . B C^{2}$

Do đó: $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{2} B C^{2}$

Câu 6/10

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC, biết điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho M’ là hình chiếu của M trên BC và 3M’G’ = BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?

A. $\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} - M B^{2} + M C^{2}$

B. $\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} - M B^{2} - M C^{2}$

C. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M A} . \vec{M C} = B C^{2} - M B^{2} + M C^{2}$

D. $\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} + M B^{2} - M C^{2}$

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

3M’G’ = BC

$\Leftrightarrow 3 \vec{M' G'} = \vec{B C}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{M' G'} . \vec{B C} = {\vec{B C}}^{2}$ (nhân cả hai vế với vectơ $\vec{B C}$ ).

Do M’ là hình chiếu của M trên BC, G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC nên $\vec{M' G'} = \vec{M G}$ .

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Do đó, ta có:

$3 \vec{M G} . \vec{B C} = {\vec{B C}}^{2}$

$\Leftrightarrow (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}) (\vec{M C} - \vec{M B}) = B C^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} (\vec{M C} - \vec{M B}) + (\vec{M B} + \vec{M C}) (\vec{M C} - \vec{M B}) = B C^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} (\vec{M C} - \vec{M B}) + M C^{2} - M B^{2} = B C^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} + M B^{2} - M C^{2}$ .

Câu 7/10

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

B. $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} - G B^{2} + G C^{2}$

C. $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} - G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

D. $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = - 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 8/10

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Trên cạnh AB lấy điểm M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $c^{2} . C M^{2} = a^{2} . A M^{2} + b^{2} . B M^{2} + (a^{2} + b^{2} - c^{2}) . A M . B M$

B. $c^{2} . C M^{2} = a^{2} . A M^{2} + b^{2} . B M^{2} + (a^{2} - b^{2} - c^{2}) . A M . B M$

C. $c^{2} . C M^{2} = a^{2} . A M^{2} - b^{2} . B M^{2} + (a^{2} + b^{2} - c^{2}) . A M . B M$

D. $c^{2} . C M^{2} = a^{2} . A M^{2} + b^{2} . B M^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2}) . A M . B M$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 9/10

Cho MN là một đường kính bất kì của đường tròn tâm O bán kính R. Cho A là một điểm cố định và OA = d. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\vec{A M} . \vec{A N} = d^{2} + R^{2}$

B. $\vec{A M} . \vec{A N} = d^{2} - R^{2}$

C. $\vec{A M} . \vec{A N} = 2 d^{2} + R^{2}$

D. $\vec{A M} . \vec{A N} = d^{2} + 2 R^{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 10/10

Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{A E} . \vec{A C} + \vec{B E} . \vec{B D} = A B^{2}$

B. $\vec{A E} . \vec{A C} - \vec{B E} . \vec{B D} = A B^{2}$

C. $\vec{A E} . \vec{A C} + \vec{B E} . \vec{B D} = - A B^{2}$

D. $\vec{A E} . \vec{A C} + \vec{B E} . \vec{B D} = 2 A B^{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 4/10 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

ĐGNL-ĐGTD

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Toán

Toán

Toán

Tiếng Việt

Tiếng Anh

Bài tập Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng của vectơ hoặc về độ dài đoạn thẳng lớp 10 (có lời giải)

🔥 Học sinh cũng đã học

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Phan Huy Chú (Đống Đa-Hà Nội) năm học 2022-2023 có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Yên Viên (Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Việt Nam-Ba Lan (Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Phúc Lợi (Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Nguyễn Trãi (Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Ngô Thì Nhậm (Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Lam Hồng (Sóc Sơn-Hà Nội) năm học 2023-2024 có đáp án

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 THPT Tây Thạnh (TP.HCM) năm học 2022-2023 có đáp án

Danh sách câu hỏi:

Cho tam giác ABC có trực tâm H và trung điểm cạnh BC là M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm O bán kính a2 . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Cho hai điểm A, B và O là trung điểm của AB. Gọi M là một điểm tùy ý, khẳng định nào sau đây là đúng ?

Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC, biết điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho M’ là hình chiếu của M trên BC và 3M’G’ = BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Trên cạnh AB lấy điểm M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Cho MN là một đường kính bất kì của đường tròn tâm O bán kính R. Cho A là một điểm cố định và OA = d. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Xem tiếp với tài khoản VIP

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm O bán kính $\frac{a}{2}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?