Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm O bán kính a2 . Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=a24 B. MA→.MB→+MB...

Hướng dẫn giải: Đáp án đúng là: A. Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên OA→+OB→+OC→=0→ và MA→+MB→+MC→=3MO→ . Ta có: MA→+MB→+MC→=3MO→ ⇔MA→+MB→+MC→2=9OM→2 ⇔MA→2+MB→2+MC→2+2MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=9MO→2 Mặt khác, ta lại có: MA→2+MB→2+MC→2=MO→+OA→2+MO→+OB→2+MO→+OC→2 =MO→2+2MO→.OA→+OA→2+MO→2+2MO→.OB→+OB→2+MO→2+2MO→.OC→+OC→2 =3MO→2+OA→2+OB→2+OC→2+2MO→OA→+OB→+OC→ =3MO2+a2 Như vậy, ta được: 3MO2+a2+2MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=9MO2 ⇔MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=3MO2−a22 Mà M thuộc đường tròn tâm O bán kính a2 nên MO=a2⇒MO2=a24 ⇔MA→.MB→+MB→.MC→+MC→.MA→=a24.

Câu hỏi:

10/08/2022 321

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm O bán kính $\frac{a}{2}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = \frac{a^{2}}{4}$

Đáp án chính xác

B. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = a^{2}$

C. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = 2 a^{2}$

D. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = \frac{a^{2}}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10 Bài tập Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng của vectơ hoặc về độ dài đoạn thẳng (có lời giải) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ và $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M O}$ .

Ta có:

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M O}$

$\Leftrightarrow {(\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C})}^{2} = 9 {\vec{O M}}^{2}$

$\Leftrightarrow {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2} + 2 (\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A}) = 9 {\vec{M O}}^{2}$

Mặt khác, ta lại có:

${\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2} = {(\vec{M O} + \vec{O A})}^{2} + {(\vec{M O} + \vec{O B})}^{2} + {(\vec{M O} + \vec{O C})}^{2}$

$= {\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O A} + {\vec{O A}}^{2} + {\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O B} + {\vec{O B}}^{2} + {\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O C} + {\vec{O C}}^{2}$

$= 3 {\vec{M O}}^{2} + {\vec{O A}}^{2} + {\vec{O B}}^{2} + {\vec{O C}}^{2} + 2 \vec{M O} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$

$= 3 M O^{2} + a^{2}$

Như vậy, ta được:

$3 M O^{2} + a^{2} + 2 (\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A}) = 9 M O^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = 3 M O^{2} - \frac{a^{2}}{2}$

Mà M thuộc đường tròn tâm O bán kính $\frac{a}{2}$ nên $M O = \frac{a}{2} \Rightarrow M O^{2} = \frac{a^{2}}{4}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = \frac{a^{2}}{4}$ .

Bình luận

Câu 1:

Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{A E} . \vec{A C} + \vec{B E} . \vec{B D} = A B^{2}$

B. $\vec{A E} . \vec{A C} - \vec{B E} . \vec{B D} = A B^{2}$

C. $\vec{A E} . \vec{A C} + \vec{B E} . \vec{B D} = - A B^{2}$

D. $\vec{A E} . \vec{A C} + \vec{B E} . \vec{B D} = 2 A B^{2}$

Xem đáp án » 10/08/2022 8,412

Câu 2:

Cho hai điểm A, B và O là trung điểm của AB. Gọi M là một điểm tùy ý, khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} - O A^{2}$

B. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} + O A^{2}$

C. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} - 2 O A^{2}$

D. $\vec{M A} . \vec{M B} = O M^{2} + 2 O A^{2}$

Xem đáp án » 10/08/2022 2,975

Câu 3:

Cho tam giác ABC có trực tâm H và trung điểm cạnh BC là M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{2} B C^{2}$

B. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{4} B C^{2}$

C. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{3}{4} B C^{2}$

D. $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{5}{4} B C^{2}$

Xem đáp án » 10/08/2022 993

Câu 4:

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

B. $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} - G B^{2} + G C^{2}$

C. $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} - G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

D. $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = - 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

Xem đáp án » 10/08/2022 963

Câu 5:

Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{4} B C^{2}$

B. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + B C^{2}$

C. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{2} B C^{2}$

D. $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{3} B C^{2}$

Xem đáp án » 10/08/2022 955

Câu 6:

Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} - A D^{2}$

B. $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$

C. $A B^{2} + C D^{2} = 2 B C^{2} + A D^{2}$

D. $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + 2 A D^{2}$

Xem đáp án » 10/08/2022 529

Câu 7:

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC, biết điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho M’ là hình chiếu của M trên BC và 3M’G’ = BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?

A. $\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} - M B^{2} + M C^{2}$

B. $\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} - M B^{2} - M C^{2}$

C. $\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M A} . \vec{M C} = B C^{2} - M B^{2} + M C^{2}$

D. $\vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B} = B C^{2} + M B^{2} - M C^{2}$

Xem đáp án » 10/08/2022 469

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm O bán kính $\frac{a}{2}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Cho hai điểm A, B và O là trung điểm của AB. Gọi M là một điểm tùy ý, khẳng định nào sau đây là đúng ?

Cho tam giác ABC có trực tâm H và trung điểm cạnh BC là M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC, biết điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho M’ là hình chiếu của M trên BC và 3M’G’ = BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm O bán kính a2 . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Cho hai điểm A, B và O là trung điểm của AB. Gọi M là một điểm tùy ý, khẳng định nào sau đây là đúng ?

Cho tam giác ABC có trực tâm H và trung điểm cạnh BC là M. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC, biết điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho M’ là hình chiếu của M trên BC và 3M’G’ = BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm O bán kính $\frac{a}{2}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?