Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ? A. MH2+MA2=AH2+14BC2 B. MH2+MA2=AH2+BC2 C. MH2+MA2=AH2+12BC2 D. MH2+MA2=AH2+13BC2

Hướng dẫn giải: Đáp án đúng là: C. Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên AB→.HC→=0; AC→.HB→=0 . Do M là trung điểm BC nên ta có: 2AM→=AB→+AC→ 2HM→=HB→+HC→ Do đó ta có: 4MA→.MH→=2AM→.2HM→ =AB→+AC→HB→+HC→ =AB→.HB→+AB→.HC→+AC→.HB→+AC→.HC→ =AB→.HB→+AC→.HC→ =AB→HC→+CB→+AC→HB→+BC→ =AB→.CB→+AC→.BC→ =CB→AB→−AC→ =CB→.CB→=CB2=BC2 Vậy MH→.MA→=14BC2 . Ta có: AH2=AH→2=MH→−MA→2=MH→2+MA→2−2MA→.MH→ =MH2+MA2−2.14.BC2 Do đó: MH2+MA2=AH2+12BC2

Câu hỏi:

10/08/2022 1,814

Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Xem lời giải

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên $\vec{A B} . \vec{H C} = 0; \vec{A C} . \vec{H B} = 0$ .

Do M là trung điểm BC nên ta có:

$2 \vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A C}$

$2 \vec{H M} = \vec{H B} + \vec{H C}$

Do đó ta có:

$4 \vec{M A} . \vec{M H} = 2 \vec{A M} .2 \vec{H M}$

$= (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{H B} + \vec{H C})$

$= \vec{A B} . \vec{H B} + \vec{A B} . \vec{H C} + \vec{A C} . \vec{H B} + \vec{A C} . \vec{H C}$

$= \vec{A B} . \vec{H B} + \vec{A C} . \vec{H C}$

$= \vec{A B} (\vec{H C} + \vec{C B}) + \vec{A C} (\vec{H B} + \vec{B C})$

$= \vec{A B} . \vec{C B} + \vec{A C} . \vec{B C}$

$= \vec{C B} (\vec{A B} - \vec{A C})$

$= \vec{C B} . \vec{C B} = C B^{2} = B C^{2}$

Vậy $\vec{M H} . \vec{M A} = \frac{1}{4} B C^{2}$ .

Ta có:

$A H^{2} = {\vec{A H}}^{2} = {(\vec{M H} - \vec{M A})}^{2} = {\vec{M H}}^{2} + {\vec{M A}}^{2} - 2 \vec{M A} . \vec{M H}$

$= M H^{2} + M A^{2} - 2. \frac{1}{4} . B C^{2}$

Do đó: $M H^{2} + M A^{2} = A H^{2} + \frac{1}{2} B C^{2}$

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Tiếng Việt

Tiếng Anh

Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chọn bộ sách