Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 50 m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển, người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc \(\widehat {{\rm{BPA}}}\)= 40° và \(\widehat {{\rm{BQA}}}\) = 52°. Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.

Lời giải

Ta có hình vẽ sau:

Ta có: \(\widehat {{\rm{BPA}}}\)= 40°, \(\widehat {{\rm{BQA}}}\) = 52°, \(\widehat {{\rm{BAP}}}\)= 90°, PQ = 50 m.

\(\widehat {{\rm{BQP}}}\) là góc kề bù với \(\widehat {{\rm{BQA}}}\) ⇒ \(\widehat {{\rm{BQP}}}\) = 180° – 52° = 128°

Xét tam giác PBQ: \(\widehat {{\rm{PBQ}}}\)+ \(\widehat {{\rm{BQP}}}\)+ \(\widehat {{\rm{BPQ}}}\)= 180°

⇒ \(\widehat {{\rm{PBQ}}}\)= 180° – 128° – 40° = 12°.

Áp dụng định lí sin cho tam giác PBQ ta có:

\(\frac{{{\rm{PQ}}}}{{{\rm{sinB}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{BQ}}}}{{{\rm{sinP}}}}\) = \(\frac{{50}}{{\sin 12^\circ }}\) ⇒ BQ = \(\frac{{50}}{{\sin 12^\circ }}\). sinP = \(\frac{{50}}{{\sin 12^\circ }}\).sin40° ≈ 154,58 m.

Xét tam giác ABQ vuông tại A: AB = BQ. sin52° = 154,58. sin52° ≈ 121,81 m.

Vậy chiều cao của tháp hải đăng khoảng 121,81 m.