Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Kẻ đường cao BE, AK và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh: DABK ᔕ DCBF

c)

+) Xét tam giác BFC vuông tại F có O là trung điểm của BC nên

$FO=\frac{BC}{2}$(1)

+) Xét tam giác BEC vuông tại E có O là trung điểm của BC

$EO=\frac{BC}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) nên suy ra FO = EO (5)

+) Xét tam giác AEH vuông tại E có I là trung điểm của AH nên

 $EI=\frac{AH}{2}$(3)

+) Xét tam giác AFH vuông tại F có I là trung điểm của AH nên

$FI=\frac{AH}{2}$ (4)

Từ (3) và (4) nên suy ra FI = EI (6)

Từ (5) và (6) ta suy ra được OI là đường trung trực của cạnh EF

Khi đó OI ^ EF Þ OI ^ DN.

Do đó DN là đường cao của ∆DOI.

Xét ∆DOI có DN và IK là đường cao và N là giao của DN và IK.

Do đó N là trực tâm của tam giác DOI.

Hướng dẫn giải

Gọi x (km) là độ đài quãng đường AB (x > 0)

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 24 km/h mất $\frac{x}{40}h$

Lúc về, người đó đi với vận tốc 30 km/h mất $\frac{x}{30}h$ .

Đổi: 45 phút =$\frac{45}{60}$ giờ = $\frac{3}{4}$  giờ.

Vì thời gian về lâu hơn thời gian đi là 45 phút tức là $\frac{3}{4}$  giờ nên ta có phương trình

$\frac{x}{30}-\frac{x}{40}=\frac{3}{4}$

$\iff \frac{4x}{120}-\frac{3x}{120}=\frac{3}{4}$

$\iff \frac{x}{120}=\frac{3}{4}$

$\iff x=\frac{120.3}{4}=90$ (TMĐK)

Vậy độ dài quãng đường AB là 90 km.