Câu hỏi:

13/07/2024 5,311

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2020 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z \Rightarrow \frac{x}{y z} + \frac{y}{x z} + \frac{z}{x y} = 3$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\frac{x}{y z}; \frac{y}{x z}$ ta có: $\frac{x}{y z} + \frac{y}{x z} \geq 2 \sqrt{\frac{x}{y z} . \frac{y}{x}} = \frac{2}{z}$

Tương tự ta cũng có: $\frac{y}{x z} + \frac{z}{x y} \geq \frac{2}{x}; \frac{z}{x y} + \frac{x}{y z} \geq \frac{2}{y}$

$\Rightarrow (\frac{x}{y z} + \frac{y}{x z}) + (\frac{y}{x z} + \frac{z}{x y}) + (\frac{z}{x y} + \frac{x}{y z}) \geq \frac{2}{z} + \frac{2}{x} + \frac{2}{y} \Rightarrow \frac{x}{y z} + \frac{y}{z x} + \frac{z}{x y} \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq 3$

Lại có: $x^{4} + y z \geq 2 \sqrt{x^{4} y z} = 2 x^{2} \sqrt{y z} \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} \leq \frac{1}{2 \sqrt{y z}} = \frac{1}{4} .2. \frac{1}{\sqrt{y}} . \frac{1}{\sqrt{z}} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{y} + \frac{1}{z})$

Tương tự $\frac{y^{2}}{y^{4} + x z} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{z}); \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$

Suy ra

$\begin{array}{l} P = \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{4} (\frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \leq \frac{3}{2} \\ = > P \leq \frac{3}{2} \end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{3}{2}$ khi x = y = z = 1.

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ với a, b là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Xem đáp án » 13/07/2024 5,150

Câu 2:

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a + b + 2 c} + \frac{b c}{b + c + 2 a} + \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{1}{4} (a + b + c)$

Xem đáp án » 13/07/2024 4,536

Câu 3:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a^{4} + b^{4} + a b} + \frac{b c}{b^{4} + c^{4} + b c} + \frac{c a}{c^{4} + a^{4} + c a} \leq 1$

Xem đáp án » 21/08/2022 4,220

Câu 4:

Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2} + y^{2} = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (3 - x) (3 - y) .$

Xem đáp án » 13/07/2024 4,026

Câu 5:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: $x + 2 y + 3 z = 2$ .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S = \sqrt{\frac{x y}{x y + 3 z}} + \sqrt{\frac{3 y z}{3 y z + x}} + \sqrt{\frac{3 x z}{3 x z + 4 y}}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 3,927

Câu 6:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab

Chứng minh rằng: $\frac{a}{4 b^{2} + 1} + \frac{b}{4 a^{2} + 1} \geq \frac{1}{2}$

Xem đáp án » 21/08/2022 3,365

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x2+y2+z2=3xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy

Bình luận

Cho biểu thức P=a4+b4−ab với a, b là các số thực thỏa mãn a2+b2+ab=3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: aba+b+2c+bcb+c+2a+cac+a+2b≤14(a+b+c)

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng: aba4+b4+ab+bcb4+c4+bc+cac4+a4+ca≤1

Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện x2+y2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 3−x3−y.

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x+2y+3z=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S=xyxy+3z+3yz3yz+x+3xz3xz+4y.

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab Chứng minh rằng: a4b2+1+b4a2+1≥12

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y}$

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ với a, b là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a + b + 2 c} + \frac{b c}{b + c + 2 a} + \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{1}{4} (a + b + c)$

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a^{4} + b^{4} + a b} + \frac{b c}{b^{4} + c^{4} + b c} + \frac{c a}{c^{4} + a^{4} + c a} \leq 1$

Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2} + y^{2} = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (3 - x) (3 - y) .$

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: $x + 2 y + 3 z = 2$ .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S = \sqrt{\frac{x y}{x y + 3 z}} + \sqrt{\frac{3 y z}{3 y z + x}} + \sqrt{\frac{3 x z}{3 x z + 4 y}}$ .

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab

Chứng minh rằng: $\frac{a}{4 b^{2} + 1} + \frac{b}{4 a^{2} + 1} \geq \frac{1}{2}$