Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ với a, b là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2020 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Sổ tay Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 30k).

Sổ tay Toán-lý-hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $a^{2} + b^{2} + a b = 3 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 3 - a b$ thay vào P ta được.

$P = a^{4} + b^{4} - a b = {(a^{2} + b^{2})}^{2} - 2 a^{2} b^{2} - a b = {(3 - a b)}^{2} - 2 a^{2} b^{2} - a b = 9 - 6 a b + a^{2} b^{2} - 2 a^{2} b^{2} - a b = 9 - 7 a b - a^{2} b^{2} = - [{(a b)}^{2} + 2. a b . \frac{7}{2} + \frac{49}{4}] + \frac{49}{4} + 9 = - {(a b + \frac{7}{2})}^{2} + \frac{85}{4}$

Vì $a^{2} + b^{2} = 3 - a b$ , mà ${(a + b)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq - 2 a b \Rightarrow 3 - a b \geq - 2 a b \Leftrightarrow a b \geq - 3$ . (1)

Và ${(a - b)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 a b \Rightarrow 3 - a b \geq 2 a b \Leftrightarrow a b \leq 1$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $- 3 \leq a b \leq 1 \Leftrightarrow - 3 + \frac{7}{2} \leq a b + \frac{7}{2} \leq \frac{7}{2} + 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq a b + \frac{7}{2} \leq \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4} \leq {(a b + \frac{7}{2})}^{2} \leq \frac{81}{4} \Leftrightarrow - \frac{81}{4} \leq - {(a b + \frac{7}{2})}^{2} \leq - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - \frac{81}{4} + \frac{85}{4} \leq - {(a b + \frac{7}{2})}^{2} + \frac{85}{4} \leq - \frac{1}{4} + \frac{85}{4} \Leftrightarrow 1 \leq - {(a b + \frac{7}{2})}^{2} + \frac{85}{4} \leq 21$

Vậy Max P = 21. Dấu = xảy ra khi $\{\begin{cases} a b = - 3 \\ a^{2} + b^{2} = 6 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \sqrt{3} \\ b = - \sqrt{3} \end{cases} v \{\begin{cases} b = \sqrt{3} \\ a = - \sqrt{3} \end{cases}$ .

Min P = 1. Dấu = xảy ra khi $\{\begin{cases} a b = 1 \\ a^{2} + b^{2} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 1 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} a = - 1 \\ b = - 1 \end{cases}$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y}$

Xem đáp án » 13/07/2024 4,642

Câu 2:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a^{4} + b^{4} + a b} + \frac{b c}{b^{4} + c^{4} + b c} + \frac{c a}{c^{4} + a^{4} + c a} \leq 1$

Xem đáp án » 21/08/2022 3,976

Câu 3:

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a + b + 2 c} + \frac{b c}{b + c + 2 a} + \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{1}{4} (a + b + c)$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,838

Câu 4:

Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2} + y^{2} = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (3 - x) (3 - y) .$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,543

Câu 5:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: $x + 2 y + 3 z = 2$ .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S = \sqrt{\frac{x y}{x y + 3 z}} + \sqrt{\frac{3 y z}{3 y z + x}} + \sqrt{\frac{3 x z}{3 x z + 4 y}}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 3,152

Câu 6:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab

Chứng minh rằng: $\frac{a}{4 b^{2} + 1} + \frac{b}{4 a^{2} + 1} \geq \frac{1}{2}$

Xem đáp án » 21/08/2022 3,101

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP