Chuyên đề 2: Bất đẳng thức có đáp án

31 người thi tuần này 4.6 5.4 K lượt thi 28 câu hỏi 60 phút

Câu 1

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a^{4} + b^{4} + a b} + \frac{b c}{b^{4} + c^{4} + b c} + \frac{c a}{c^{4} + a^{4} + c a} \leq 1$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $a^{4} + b^{4} \geq a b (a^{2} + b^{2})$ $\Rightarrow \frac{a b}{a^{4} + b^{4} + a b} \leq \frac{a b}{a b (a^{2} + b^{2}) + a b} = \frac{1}{a^{2} + b^{2} + 1}$

Tương tự có: $\frac{b c}{b^{4} + c^{4} + b c} \leq \frac{1}{b^{2} + c^{2} + 1}$ ; $\frac{c a}{c^{4} + a^{4} + c a} \leq \frac{1}{c^{2} + a^{2} + 1}$

Suy ra $V T \leq \frac{1}{a^{2} + b^{2} + 1} + \frac{1}{b^{2} + c^{2} + 1} + \frac{1}{c^{2} + a^{2} + 1}$

Đặt $a^{2} = x^{3}; b^{2} = y^{3}' c^{2} = z^{3}$ ta có: xyz = 1 ( do abc = 1)

Suy ra: $V T \leq \frac{1}{x^{3} + y^{3} + 1} + \frac{1}{y^{3} + z^{3} + 1} + \frac{1}{z^{3} + x^{3} + 1}$

Dễ cm đc $x^{3} + y^{3} \geq x y (x + y)$

$V T \leq \frac{1}{x y (x + y) + 1} + \frac{1}{y z (y + z) + 1} + \frac{1}{z x (z + x) + 1}$

$V T \leq \frac{z}{x y z (x + y) + z} + \frac{x}{x y z (y + z) + x} + \frac{y}{z x y (z + x) + y}$

$V T \leq \frac{z}{x + y + z} + \frac{x}{x + y + z} + \frac{y}{z x + y + z} = 1$

Vậy $V T \leq 1$ Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Câu 2

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c + a b + b c + a c = 6$ . Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 3$

Xem đáp án

Lời giải

Đặt $P = \frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a}$ .

Có a, b, c là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có:

$\{\begin{cases} \frac{a^{3}}{b} + a b \geq 2 a^{2} \\ \frac{b^{3}}{c} + b c \geq 2 b^{2} \\ \frac{c^{3}}{a} + a c \geq 2 c^{2} \end{cases}$ .

$\Rightarrow P = \frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - (a b + b c + a c)$ , mà $a + b + c + a b + b c + a c = 6$ .

$\Rightarrow P \geq 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + (a + b + c) - 6$ .

Có ${(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(a - c)}^{2} \geq 0$ $\Rightarrow 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2 (a b + b c + c a)$ $\Rightarrow 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq {(a + b + c)}^{2}$ .

Suy ra $P \geq \frac{2}{3} {(a + b + c)}^{2} + (a + b + c) - 6$ .

Có $a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$ $\Rightarrow 3 (a b + b c + a c) \leq {(a + b + c)}^{2}$ .

Do đó $6 = a + b + c + a b + b c + a c \leq a + b + c + \frac{1}{3} {(a + b + c)}^{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{3} {(a + b + c)}^{2} + (a + b + c) - 6 \geq 0$ . $\Rightarrow (a + b + c) \geq 3$ , ${(a + b + c)}^{2} \geq 9$ .

Suy ra $P \geq \frac{2}{3} .9 + 3 - 6 = 3$ . Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Vậy $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 3$ .

Câu 3

Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1

Chứng minh $\frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c} \leq 1$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh $\frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c} \leq 1$

$\Leftrightarrow (b + 2) (c + 2) + (a + 2) (c + 2) + (a + 2) (b + 2) \leq (a + 2) (b + 2) (c + 2)$

$\Leftrightarrow a b + b c + c a + 4 (a + b + c) + 12 \leq a b c + 2 (a b + b c + c a) + 4 (a + b + c) + 8$

$\Leftrightarrow a b + b c + c a + 4 (a + b + c) + 12 \leq 1 + 2 (a b + b c + c a) + 4 (a + b + c) + 8$

$\Leftrightarrow a b + b c + c a \geq 3$

Thật vậy áp dụng bất đẳng thức CauChy cho 3 số dương ta có $\Leftrightarrow a b + b c + c a \geq 3 \sqrt[3]{{(a b c)}^{2}} \geq 3$ .

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Hoàn tất chứng minh.

Câu 4

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab

Chứng minh rằng: $\frac{a}{4 b^{2} + 1} + \frac{b}{4 a^{2} + 1} \geq \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Từ a + b = 4ab $\Rightarrow 4 a b \geq 2 \sqrt{a b} \Rightarrow a b \geq \frac{1}{4}$ .

Chứng minh được BĐT: Với x, y > 0 ta có $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{x + y}$ (*) .

Áp dụng (*) ta có

$\frac{a}{4 b^{2} + 1} + \frac{b}{4 a^{2} + 1} = \frac{a^{2}}{4 a b^{2} + a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2} b + b} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{4 a b (a + b) + (a + b)}$

= $\frac{a + b}{4 a b + 1} = \frac{4 a b}{4 a b + 1} = 1 - \frac{1}{4 a b + 1} \geq \frac{1}{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a = b = \frac{1}{2}$ .

Câu 5

Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh $(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9 \cdot$

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2$ cho hai số x > 0; y > 0 ta chứng minh được $(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9$ .

Câu 6

Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{400}} < 38$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử