Chuyên đề 2: Bất đẳng thức có đáp án

Thi Online Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2020 có đáp án

Chuyên đề 2: Bất đẳng thức có đáp án

2207 lượt thi
28 câu hỏi
60 phút

Câu 1:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a^{4} + b^{4} + a b} + \frac{b c}{b^{4} + c^{4} + b c} + \frac{c a}{c^{4} + a^{4} + c a} \leq 1$

Ta có: $a^{4} + b^{4} \geq a b (a^{2} + b^{2})$ $\Rightarrow \frac{a b}{a^{4} + b^{4} + a b} \leq \frac{a b}{a b (a^{2} + b^{2}) + a b} = \frac{1}{a^{2} + b^{2} + 1}$

Tương tự có: $\frac{b c}{b^{4} + c^{4} + b c} \leq \frac{1}{b^{2} + c^{2} + 1}$ ; $\frac{c a}{c^{4} + a^{4} + c a} \leq \frac{1}{c^{2} + a^{2} + 1}$

Suy ra $V T \leq \frac{1}{a^{2} + b^{2} + 1} + \frac{1}{b^{2} + c^{2} + 1} + \frac{1}{c^{2} + a^{2} + 1}$

Đặt $a^{2} = x^{3}; b^{2} = y^{3}' c^{2} = z^{3}$ ta có: xyz = 1 ( do abc = 1)

Suy ra: $V T \leq \frac{1}{x^{3} + y^{3} + 1} + \frac{1}{y^{3} + z^{3} + 1} + \frac{1}{z^{3} + x^{3} + 1}$

Dễ cm đc $x^{3} + y^{3} \geq x y (x + y)$

$V T \leq \frac{1}{x y (x + y) + 1} + \frac{1}{y z (y + z) + 1} + \frac{1}{z x (z + x) + 1}$

$V T \leq \frac{z}{x y z (x + y) + z} + \frac{x}{x y z (y + z) + x} + \frac{y}{z x y (z + x) + y}$

$V T \leq \frac{z}{x + y + z} + \frac{x}{x + y + z} + \frac{y}{z x + y + z} = 1$

Vậy $V T \leq 1$ Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Câu 2:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c + a b + b c + a c = 6$ . Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 3$

Xem đáp án

Đặt $P = \frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a}$ .

Có a, b, c là các số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có:

$\{\begin{cases} \frac{a^{3}}{b} + a b \geq 2 a^{2} \\ \frac{b^{3}}{c} + b c \geq 2 b^{2} \\ \frac{c^{3}}{a} + a c \geq 2 c^{2} \end{cases}$ .

$\Rightarrow P = \frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - (a b + b c + a c)$ , mà $a + b + c + a b + b c + a c = 6$ .

$\Rightarrow P \geq 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + (a + b + c) - 6$ .

Có ${(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(a - c)}^{2} \geq 0$ $\Rightarrow 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2 (a b + b c + c a)$ $\Rightarrow 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq {(a + b + c)}^{2}$ .

Suy ra $P \geq \frac{2}{3} {(a + b + c)}^{2} + (a + b + c) - 6$ .

Có $a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$ $\Rightarrow 3 (a b + b c + a c) \leq {(a + b + c)}^{2}$ .

Do đó $6 = a + b + c + a b + b c + a c \leq a + b + c + \frac{1}{3} {(a + b + c)}^{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{3} {(a + b + c)}^{2} + (a + b + c) - 6 \geq 0$ . $\Rightarrow (a + b + c) \geq 3$ , ${(a + b + c)}^{2} \geq 9$ .

Suy ra $P \geq \frac{2}{3} .9 + 3 - 6 = 3$ . Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Vậy $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 3$ .

Câu 3:

Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1

Chứng minh $\frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c} \leq 1$ .

Xem đáp án

Bất đẳng thức cần chứng minh $\frac{1}{2 + a} + \frac{1}{2 + b} + \frac{1}{2 + c} \leq 1$

$\Leftrightarrow (b + 2) (c + 2) + (a + 2) (c + 2) + (a + 2) (b + 2) \leq (a + 2) (b + 2) (c + 2)$

$\Leftrightarrow a b + b c + c a + 4 (a + b + c) + 12 \leq a b c + 2 (a b + b c + c a) + 4 (a + b + c) + 8$

$\Leftrightarrow a b + b c + c a + 4 (a + b + c) + 12 \leq 1 + 2 (a b + b c + c a) + 4 (a + b + c) + 8$

$\Leftrightarrow a b + b c + c a \geq 3$

Thật vậy áp dụng bất đẳng thức CauChy cho 3 số dương ta có $\Leftrightarrow a b + b c + c a \geq 3 \sqrt[3]{{(a b c)}^{2}} \geq 3$ .

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Hoàn tất chứng minh.

Câu 4:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab

Chứng minh rằng: $\frac{a}{4 b^{2} + 1} + \frac{b}{4 a^{2} + 1} \geq \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Từ a + b = 4ab $\Rightarrow 4 a b \geq 2 \sqrt{a b} \Rightarrow a b \geq \frac{1}{4}$ .

Chứng minh được BĐT: Với x, y > 0 ta có $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{x + y}$ (*) .

Áp dụng (*) ta có

$\frac{a}{4 b^{2} + 1} + \frac{b}{4 a^{2} + 1} = \frac{a^{2}}{4 a b^{2} + a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2} b + b} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{4 a b (a + b) + (a + b)}$

= $\frac{a + b}{4 a b + 1} = \frac{4 a b}{4 a b + 1} = 1 - \frac{1}{4 a b + 1} \geq \frac{1}{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a = b = \frac{1}{2}$ .

Câu 5:

Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh $(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9 \cdot$

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2$ cho hai số x > 0; y > 0 ta chứng minh được $(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9$ .

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2020 có đáp án