Câu hỏi:

13/07/2024 852

Cho hai số thực không âm a, b thỏa mãn a2+b2=2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=a3+b3+4ab+1.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có a3+b3+4=a3+b3+1+33ab+3. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.

Vì ab + 1 > 0 nên M=a3+b3+4ab+13ab+1ab+1=3.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 3 đạt được khi a = b = 1.

+) Vì a2+b2=2 nên a2,b2. Suy ra a3+b3+42a2+b2+4=22+4.

Mặt khác 1ab+11 do ab+11. Suy ra M=a3+b3+4ab+122+4.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a2+b2=2ab=0a;b=0;2a;b=2;0.

Giá trị lớn nhất của biểu thức M 4+22 đạt được khi a;b=0;2a;b=2;0

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Ta chứng minh bất đẳng thức 1x+y141x+1y với x, y > 0.

Thậy vậy, với x, y > 0 thì:

1x+y141x+1y1x+yx+y4xy(x+y)24xyx2+2xy+y24xy0

x22xy+y20(xy)20 (luôn đúng)

Do đó: 1x+y141x+1y với x, y > 0.

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

1a+b+2c=1(a+c)+(b+c)14(1a+c+1b+c)aba+b+2cab41a+c+1b+c

Tương tự ta có: bcb+c+2abc41b+a+1c+acac+a+2bca41c+b+1a+b

Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được:

aba+b+2c+bcb+c+2a+cac+a+2bab41a+c+1b+c+bc41b+a+1c+a+ca41c+b+1a+b

=14aba+c+abb+c+bcb+a+bcc+a+cac+b+caa+b=14ab+bca+c+ab+cac+b+bc+cab+a=14b(a+c)a+c+a(b+c)c+b+c(b+a)b+a=14(a+b+c)

Do đó VT14VP (đpcm).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Lời giải

x2+y2+z2=3xyzxyz+yxz+zxy=3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương xyz;yxz ta có: xyz+yxz2xyz.yx=2z

Tương tự ta cũng có: yxz+zxy2x;zxy+xyz2y

xyz+yxz+yxz+zxy+zxy+xyz2z+2x+2yxyz+yzx+zxy1x+1y+1z1x+1y+1z3

Lại có: x4+yz2x4yz=2x2yzx2x4+yz12yz=14.2.1y.1z14(1y+1z)

Tương tự y2y4+xz14(1x+1z);z2z4+xy14(1x+1y)

Suy ra

P=x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy14(2x+2y+2z)=12(1x+1y+1z)32=>P32

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 32 khi x = y = z = 1.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay