Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z≥2019. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=x2x+yz+y2y+zx+z2z+xy.

Ta chứng minh bất đẳng thức a2x+b2y+c2z≥a+b+c2x+y+zvới a,b,c,x,y,z>0 Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số ax;x,by;y,cz;z ta có a2x+b2y+c2zx+y+z=ax2+by2+cz2x2+y2+z2 ≥ax.x+by.y+cz.z2=a+b+c2 ⇒a2x+b2y+c2z≥a+b+c2x+y+z (*) Dấu “=” xảy khi khi ax=by=cz Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có yz≤y+z2;zx≤z+x2;xy≤x+y2 ⇒T≥x2x+y+z2+y2y+z+x2+z2z+x+y2 =2x22x+y+z+2y2x+2y+z+2z2x+y+2z =2x22x+y+z+y2x+2y+z+z2x+y+2z Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có T≥2x+y+z24x+y+z=x+y+z2=20192 Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 673 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=20192 khi x = y = z = 673

Câu hỏi:

19/08/2025 808

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z \geq 2019$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{x^{2}}{x + \sqrt{y z}} + \frac{y^{2}}{y + \sqrt{z x}} + \frac{z^{2}}{z + \sqrt{x y}}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2020 có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta chứng minh bất đẳng thức $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} + \frac{c^{2}}{z} \geq \frac{{(a + b + c)}^{2}}{x + y + z}$ với $a, b, c, x, y, z > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số $(\frac{a}{\sqrt{x}}; \sqrt{x}), (\frac{b}{\sqrt{y}}; \sqrt{y}), (\frac{c}{\sqrt{z}}; \sqrt{z})$

ta có $(\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} + \frac{c^{2}}{z}) (x + y + z) = [{(\frac{a}{\sqrt{x}})}^{2} + {(\frac{b}{\sqrt{y}})}^{2} + {(\frac{c}{\sqrt{z}})}^{2}] [{(\sqrt{x})}^{2} + {(\sqrt{y})}^{2} + {(\sqrt{z})}^{2}]$

$\geq {(\frac{a}{\sqrt{x}} . \sqrt{x} + \frac{b}{\sqrt{y}} . \sqrt{y} + \frac{c}{\sqrt{z}} . \sqrt{z})}^{2} = {(a + b + c)}^{2}$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} + \frac{c^{2}}{z} \geq \frac{{(a + b + c)}^{2}}{x + y + z}$ (*)

Dấu “=” xảy khi khi $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có $\sqrt{y z} \leq \frac{y + z}{2}; \sqrt{z x} \leq \frac{z + x}{2}; \sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}$

$\Rightarrow T \geq \frac{x^{2}}{x + \frac{y + z}{2}} + \frac{y^{2}}{y + \frac{z + x}{2}} + \frac{z^{2}}{z + \frac{x + y}{2}}$

$= \frac{2 x^{2}}{2 x + y + z} + \frac{2 y^{2}}{x + 2 y + z} + \frac{2 z^{2}}{x + y + 2 z}$

$= 2 (\frac{x^{2}}{2 x + y + z} + \frac{y^{2}}{x + 2 y + z} + \frac{z^{2}}{x + y + 2 z})$

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

$T \geq 2 \frac{{(x + y + z)}^{2}}{4 (x + y + z)} = \frac{x + y + z}{2} = \frac{2019}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 673

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{2019}{2}$ khi x = y = z = 673

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a + b + 2 c} + \frac{b c}{b + c + 2 a} + \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{1}{4} (a + b + c)$

Xem đáp án

Lời giải

Ta chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ với x, y > 0.

Thậy vậy, với x, y > 0 thì:

$\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \Leftrightarrow \frac{1}{x + y} \leq \frac{x + y}{4 x y} \Leftrightarrow {(x + y)}^{2} \geq 4 x y \Leftrightarrow x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y \geq 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x y + y^{2} \geq 0 \Leftrightarrow {(x - y)}^{2} \geq 0$ (luôn đúng)

Do đó: $\frac{1}{x + y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ với x, y > 0.

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

$\frac{1}{a + b + 2 c} = \frac{1}{(a + c) + (b + c)} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}) \Rightarrow \frac{a b}{a + b + 2 c} \leq \frac{a b}{4} (\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c})$

Tương tự ta có: $\{\begin{cases} \frac{b c}{b + c + 2 a} \leq \frac{b c}{4} (\frac{1}{b + a} + \frac{1}{c + a}) \\ \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{c a}{4} (\frac{1}{c + b} + \frac{1}{a + b}) \end{cases}$

Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được:

$\frac{a b}{a + b + 2 c} + \frac{b c}{b + c + 2 a} + \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{a b}{4} (\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + c}) + \frac{b c}{4} (\frac{1}{b + a} + \frac{1}{c + a}) + \frac{c a}{4} (\frac{1}{c + b} + \frac{1}{a + b})$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{4} [\frac{a b}{a + c} + \frac{a b}{b + c} + \frac{b c}{b + a} + \frac{b c}{c + a} + \frac{c a}{c + b} + \frac{c a}{a + b}] \\ = \frac{1}{4} [\frac{a b + b c}{a + c} + \frac{a b + c a}{c + b} + \frac{b c + c a}{b + a}] = \frac{1}{4} [\frac{b (a + c)}{a + c} + \frac{a (b + c)}{c + b} + \frac{c (b + a)}{b + a}] = \frac{1}{4} (a + b + c) \end{array}$

Do đó $V T \leq \frac{1}{4} V P$ (đpcm).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Câu 2

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y}$

Xem đáp án

Lời giải

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z \Rightarrow \frac{x}{y z} + \frac{y}{x z} + \frac{z}{x y} = 3$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\frac{x}{y z}; \frac{y}{x z}$ ta có: $\frac{x}{y z} + \frac{y}{x z} \geq 2 \sqrt{\frac{x}{y z} . \frac{y}{x}} = \frac{2}{z}$

Tương tự ta cũng có: $\frac{y}{x z} + \frac{z}{x y} \geq \frac{2}{x}; \frac{z}{x y} + \frac{x}{y z} \geq \frac{2}{y}$

$\Rightarrow (\frac{x}{y z} + \frac{y}{x z}) + (\frac{y}{x z} + \frac{z}{x y}) + (\frac{z}{x y} + \frac{x}{y z}) \geq \frac{2}{z} + \frac{2}{x} + \frac{2}{y} \Rightarrow \frac{x}{y z} + \frac{y}{z x} + \frac{z}{x y} \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq 3$

Lại có: $x^{4} + y z \geq 2 \sqrt{x^{4} y z} = 2 x^{2} \sqrt{y z} \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} \leq \frac{1}{2 \sqrt{y z}} = \frac{1}{4} .2. \frac{1}{\sqrt{y}} . \frac{1}{\sqrt{z}} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{y} + \frac{1}{z})$

Tương tự $\frac{y^{2}}{y^{4} + x z} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{z}); \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$

Suy ra

$\begin{array}{l} P = \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{4} (\frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \leq \frac{3}{2} \\ = > P \leq \frac{3}{2} \end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{3}{2}$ khi x = y = z = 1.

Câu 3