Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z≥2019. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=x2x+yz+y2y+zx+z2z+xy.

Ta chứng minh bất đẳng thức a2x+b2y+c2z≥a+b+c2x+y+zvới a,b,c,x,y,z>0 Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số ax;x,by;y,cz;z ta có a2x+b2y+c2zx+y+z=ax2+by2+cz2x2+y2+z2 ≥ax.x+by.y+cz.z2=a+b+c2 ⇒a2x+b2y+c2z≥a+b+c2x+y+z (*) Dấu “=” xảy khi khi ax=by=cz Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có yz≤y+z2;zx≤z+x2;xy≤x+y2 ⇒T≥x2x+y+z2+y2y+z+x2+z2z+x+y2 =2x22x+y+z+2y2x+2y+z+2z2x+y+2z =2x22x+y+z+y2x+2y+z+z2x+y+2z Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có T≥2x+y+z24x+y+z=x+y+z2=20192 Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 673 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=20192 khi x = y = z = 673

Câu hỏi:

13/07/2024 304

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z \geq 2019$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{x^{2}}{x + \sqrt{y z}} + \frac{y^{2}}{y + \sqrt{z x}} + \frac{z^{2}}{z + \sqrt{x y}}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2020 có đáp án !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta chứng minh bất đẳng thức $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} + \frac{c^{2}}{z} \geq \frac{{(a + b + c)}^{2}}{x + y + z}$ với $a, b, c, x, y, z > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số $(\frac{a}{\sqrt{x}}; \sqrt{x}), (\frac{b}{\sqrt{y}}; \sqrt{y}), (\frac{c}{\sqrt{z}}; \sqrt{z})$

ta có $(\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} + \frac{c^{2}}{z}) (x + y + z) = [{(\frac{a}{\sqrt{x}})}^{2} + {(\frac{b}{\sqrt{y}})}^{2} + {(\frac{c}{\sqrt{z}})}^{2}] [{(\sqrt{x})}^{2} + {(\sqrt{y})}^{2} + {(\sqrt{z})}^{2}]$

$\geq {(\frac{a}{\sqrt{x}} . \sqrt{x} + \frac{b}{\sqrt{y}} . \sqrt{y} + \frac{c}{\sqrt{z}} . \sqrt{z})}^{2} = {(a + b + c)}^{2}$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} + \frac{c^{2}}{z} \geq \frac{{(a + b + c)}^{2}}{x + y + z}$ (*)

Dấu “=” xảy khi khi $\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có $\sqrt{y z} \leq \frac{y + z}{2}; \sqrt{z x} \leq \frac{z + x}{2}; \sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}$

$\Rightarrow T \geq \frac{x^{2}}{x + \frac{y + z}{2}} + \frac{y^{2}}{y + \frac{z + x}{2}} + \frac{z^{2}}{z + \frac{x + y}{2}}$

$= \frac{2 x^{2}}{2 x + y + z} + \frac{2 y^{2}}{x + 2 y + z} + \frac{2 z^{2}}{x + y + 2 z}$

$= 2 (\frac{x^{2}}{2 x + y + z} + \frac{y^{2}}{x + 2 y + z} + \frac{z^{2}}{x + y + 2 z})$

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

$T \geq 2 \frac{{(x + y + z)}^{2}}{4 (x + y + z)} = \frac{x + y + z}{2} = \frac{2019}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 673

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{2019}{2}$ khi x = y = z = 673

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ với a, b là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,529

Câu 2:

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y}$

Xem đáp án » 13/07/2024 4,404

Câu 3:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a^{4} + b^{4} + a b} + \frac{b c}{b^{4} + c^{4} + b c} + \frac{c a}{c^{4} + a^{4} + c a} \leq 1$

Xem đáp án » 21/08/2022 3,870

Câu 4:

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a + b + 2 c} + \frac{b c}{b + c + 2 a} + \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{1}{4} (a + b + c)$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,531

Câu 5:

Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2} + y^{2} = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (3 - x) (3 - y) .$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,417

Câu 6:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: $x + 2 y + 3 z = 2$ .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S = \sqrt{\frac{x y}{x y + 3 z}} + \sqrt{\frac{3 y z}{3 y z + x}} + \sqrt{\frac{3 x z}{3 x z + 4 y}}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 3,020

Câu 7:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab

Chứng minh rằng: $\frac{a}{4 b^{2} + 1} + \frac{b}{4 a^{2} + 1} \geq \frac{1}{2}$

Xem đáp án » 21/08/2022 2,988

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP