Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+ y + z ≤1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=1x2+y2+z2 + 1xy+yz+zx

Ta có xy+yz+zx≤x+y+z33≤13 nên 2017xy+yz+zx≥6051 Áp dụng BĐT x+y+z1x+1y+1z≥9 , ta có: (x2+y2+z2)+(xy+yz+zx)+(xy+yz+zx) 1x2+y2+z2+1xy+yz+zx+1xy+yz+zx≥9⇔(x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx) 1x2+y2+z2+1xy+yz+zx+1xy+yz+zx≥9 Hay 1x2+y2+z2 + 2xy+yz+zx≥9 Từ đó ta có: P=1x2+y2+z2 + 2xy+yz+zx+ 2017xy+yz+zx≥9+6051=6060 ⇔P≥6060 Vậy GTNN của P là 6060 khi và chỉ khi x=y=z=13

Câu hỏi:

13/07/2024 2,705

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z \leq 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{1}{x y + y z + z x}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2020 có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $x y + y z + z x \leq \frac{{(x + y + z)}^{3}}{3} \leq \frac{1}{3}$ nên $\frac{2017}{x y + y z + z x} \geq 6051$

Áp dụng BĐT $(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9$ , ta có:

$\begin{array}{l} [(x^{2} + y^{2} + z^{2}) + (x y + y z + z x) + (x y + y z + z x)] (\frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{1}{x y + y z + z x} + \frac{1}{x y + y z + z x}) \geq 9 \\ \Leftrightarrow (x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 y z + 2 z x) (\frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{1}{x y + y z + z x} + \frac{1}{x y + y z + z x}) \geq 9 \end{array}$

Hay $\frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{2}{x y + y z + z x} \geq 9$

Từ đó ta có: $P = \frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{2}{x y + y z + z x} + \frac{2017}{x y + y z + z x} \geq 9 + 6051 = 6060$

\Leftrightarrow P \geq 6060

Vậy GTNN của P là 6060 khi và chỉ khi

x = y = z = \frac{1}{3}

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho biểu thức $P = a^{4} + b^{4} - a b$ với a, b là các số thực thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + a b = 3$ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,703

Câu 2:

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 x y z$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y}$

Xem đáp án » 13/07/2024 4,644

Câu 3:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 1, Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a^{4} + b^{4} + a b} + \frac{b c}{b^{4} + c^{4} + b c} + \frac{c a}{c^{4} + a^{4} + c a} \leq 1$

Xem đáp án » 21/08/2022 3,976

Câu 4:

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a + b + 2 c} + \frac{b c}{b + c + 2 a} + \frac{c a}{c + a + 2 b} \leq \frac{1}{4} (a + b + c)$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,838

Câu 5:

Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện $x^{2} + y^{2} = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (3 - x) (3 - y) .$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,543

Câu 6:

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: $x + 2 y + 3 z = 2$ .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S = \sqrt{\frac{x y}{x y + 3 z}} + \sqrt{\frac{3 y z}{3 y z + x}} + \sqrt{\frac{3 x z}{3 x z + 4 y}}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 3,152

Câu 7:

Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab

Chứng minh rằng: $\frac{a}{4 b^{2} + 1} + \frac{b}{4 a^{2} + 1} \geq \frac{1}{2}$

Xem đáp án » 21/08/2022 3,101

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP