Câu hỏi:
13/07/2024 1,985
Xét các số x, y, z thay đổi thoả mãn x3 + y3 + z3 – 3xyz = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Xét các số x, y, z thay đổi thoả mãn x3 + y3 + z3 – 3xyz = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcCâu hỏi trong đề: Bộ đề Ôn tập Toán 9 thi vào 10 năm 2020 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Ta có:
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y)³ - 3xy(x - y) + z³ - 3xyz = 2
[(x + y)³ + z³] - 3xy(x + y +z ) = 2
(x + y + z)³ - 3z(x + y)(x + y + z) - 3xy(x – y - z) = 2
(x + y + z)[(x + y + z)² - 3z(x + y) - 3xy] = 2
(x + y + z)(x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xz - 3yz - 3xy) = 2
(x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz) = 2
x² + y² + z² - xy - xz – yz ≠ 0
Chứng minh: x² + y² + z² - xy - xz – yz ≥ 0 với mọi x, y, z
|x² + y² + z² - xy - xz – yz > 0 | x + y + z
Đặt x + y + z = t (t > 0) | x² + y² + z² - xy - xz – yz khi đó ta có
Áp dụng BĐT Cô si ta có: (dấu bằng xảy ra khi t = 2)
(dấu bằng xảy ra khi t = 2)
P ≥ 8 – 2 = 6. Tồn tại x = y = 1, z = 0 thì P = 6
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta chứng minh bất đẳng thức với x, y > 0.
Thậy vậy, với x, y > 0 thì:
(luôn đúng)
Do đó: với x, y > 0.
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
Tương tự ta có:
Cộng vế với vế các bất đẳng thức với nhau ta được:
Do đó (đpcm).
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:
Tương tự ta cũng có:
Lại có:
Tương tự
Suy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = khi x = y = z = 1.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.