Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}m\text{x}-y=3-m\\ x-my=2m\end{array}\right.$ (m là tham số). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Khi đó, hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

b) Vì $\frac{3}{1}\ne \frac{-1}{2}$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\left(x;y\right)$.

$\left\{\begin{array}{l}3\text{x}-y=2m+3\\ x+2y=3m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}6\text{x}-2y=4m+6\\ x+2y=3m+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}7\text{x}=7m+7\\ 3\text{x}-y=2m+3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=m+1\\ y=3\left(m+1\right)-2m-3=m\end{array}\right.$

Hệ phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)=\left(m+1;m\right)$.

Theo đề bài, ta có: $x^2+y^2=5$

$\iff {\left(m+1\right)}^2+m^2=5\iff 2m^2+2m-4=0\iff 2\left(m-1\right)\left(m+2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-2\end{array}\right.$.

Vậy m= 1 hoặc m = -2 thì phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài.

Giải chi tiết

Với m = 0 thì hệ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\right.$, hệ có nghiệm.

Với $m\ne 0$. Hệ có nghiệm duy nhất $\iff \frac{1}{m}\ne \frac{-m}{2}\iff -m^2\ne 2\iff m^2\ne -2$ (luôn đúng).

Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.

* Khi lập tỉ số $\frac{a}{a^{\text{'}}}\ne \frac{b}{b^{\text{'}}}$ nếu $a^{\text{'}}$ hoặc $b^{\text{'}}$ có tham số m thì ta phải xét thêm trường hợp $a^{\text{'}}= 0$ hoặc $b^{\text{'}}=0$.