Cho hình nón có bán kính đáy bằng 6 cm , đường sinh bằng 10 cm . Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón.

Diện tích xung quanh của hình nón cụt là:

$S_{xq}=\pi \left(r+R\right).l=\pi .\left(2+6\right).5=40\pi \left({\text{cm}}^2\right).$

Kẻ AH vuông góc với OB, trong đó H thuộc OB.

Vì $AHO{O}^{\text{'}}$ là hình chữ nhật nên $OH=r=2\text{cm}.$            .

Suy ra $BH=OB-OH=R-r=4\text{cm}.$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AHB có:

$A{B}^2=A{H}^2+H{B}^2\Rightarrow h=AH=\sqrt{A{B}^2-H{B}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\text{cm}.$

Thể tích của hình nón cụt là:

$V=\frac{1}{3}\pi h\left(r^2+Rr+R^2\right)=\frac{1}{3}\pi .3\left(2^2+2.6+6^2\right)=52\pi$

Vì tam giác SOA vuông cân tại O nên $\widehat{SAO}=45°.$

Trong tam giác vuông SOA có: $SO=SA.\sin 45°=5.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\left(cm\right).$

Suy ra $R=OA=SO=\frac{5\sqrt{2}}{2}\left(\text{cm}\right).$

Diện tích xung quanh của hình nón là: $S_{xq}=\pi Rl=\pi .\frac{5\sqrt{2}}{2}.5=\frac{25\pi \sqrt{2}}{2}\left({\text{cm}}^2\right).$

Thể tích của hình nón là: $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi .{\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2.\frac{5\sqrt{2}}{2}=\frac{125\pi \sqrt{2}}{12}\left({\text{cm}}^{\text{3}}\right).$