Cho $△$ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. Chứng minh $\widehat{OAH}=\widehat{ACB}-\widehat{ABC}$

Cách giải 1: (Hình 1)

Kẻ OI $\perp$ AC cắt AH ở M
Ta có: $\widehat{OMH}=\widehat{ACB}$ (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
$\widehat{AOM}=\widehat{ABC}$ (cùng bằng $\frac{1}{2}$ sđ $\widehat{AC}$)
Trong $△$OAM thì: $\widehat{OMH}=\widehat{AOM}+\widehat{OAH}$ (Góc ngoài tam giác)
Hay $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}+\widehat{OAH}$
Vậy: $\widehat{OAH}=\widehat{ACB}-\widehat{ABC}$ (Đpcm)

Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại A cắt BC ở D .
Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{CAD}$ (1) (Cùng chắn )
$\widehat{OAH}=\widehat{ADC}$ (2) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được: $\widehat{ABC}+\widehat{OAH}=\widehat{CAD}+\widehat{ADC}$
Mà $\widehat{CAD}+\widehat{ADC}=\widehat{ACB}$ (góc ngoài tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{OAH}=\widehat{ACB}$

Vậy: $\widehat{OAH}=\widehat{ACB}-\widehat{ABC}$ (Đpcm)

Cách giải 3: (Hình 3)

Kẻ đường kính AOD
Kẻ DK $\perp$ BC
Ta có DK // AH $\Rightarrow \widehat{OAH}=\widehat{ODK}$ (1) (so le trong)
$\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ (2) (góc nội tiếp cùng chắn $\widehat{AC}$)
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được $\widehat{OAH}+\widehat{ABC}=\widehat{ODK}+\widehat{ADC}=\widehat{KDC}$
Mà: $\widehat{KDC}=\widehat{ACB}$(góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
$\Rightarrow \widehat{OAH}+\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$. Vậy $\widehat{OAH}=\widehat{ACB}-\widehat{ABC}$ (Đpcm)

Cách giải 4: (Hình 4)

Kẻ đường kính AOD
Kẻ CK $\perp$ AD
Ta có: $\widehat{OAH}=\widehat{KCB}$ (1) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)

           $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ (2) (góc nội tiếp cùng chắn $\widehat{AC}$)
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được: $\widehat{OAH}+\widehat{ABC}=\widehat{KCB}+\widehat{ADC}$
Mà: $\widehat{ADC}=\widehat{KCA}$ (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)

$\Rightarrow \widehat{OAH}+\widehat{ABC}=\widehat{KCB}+\widehat{KCA}=\widehat{ACB}$
Vậy: $\widehat{OAH}=\widehat{ACB}-\widehat{ABC}$ (Đpcm)

Cách giải 5: (Hình 5)

Kẻ đường kính AOD
Gọi M là giao điểm của AH và DC
Ta có: $\widehat{AMC}=\widehat{ACB}$ (1) (góc có cạnh các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
$\widehat{ADM}=\widehat{ABC}$ (2) (góc nội tiếp cùng chắn $\widehat{AC}$)
Trừ từng vế của (1) và (2) Ta được: $\widehat{AMC}-\widehat{ADM}=\widehat{ACB}-\widehat{ABC}$
Mà: $\widehat{OAH}=\widehat{ACB}-\widehat{ABC}$ (góc ngoài tam giác)
Vậy $\widehat{OAH}=\widehat{ACB}-\widehat{ABC}$ (Đpcm)

Cách giải 6: (Hình 6)

Kẻ OI $\perp$ BC và OK $\perp$ AB
Ta có: $\widehat{OAH}=\widehat{O_2}$ (1) (so le trong)

            $\widehat{ABC}=\widehat{O_1}$ (2) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được $\widehat{OAH}+\widehat{ABC}=\widehat{O_1}+\widehat{O_2}$
Mà $\widehat{O_1}+\widehat{O_2}=\widehat{ACB}$ (Cùng bằng $\frac{1}{2}$ sđ $\widehat{AB}$)

$\Rightarrow \widehat{OAH}+\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Vậy $\widehat{OAH}=\widehat{ACB}-\widehat{ABC}$ (Đpcm)

Cách giải 7: (Hình 7)

Tại A kẻ tiếp tuyến Ax và đường thẳng Ay // BC
Ta có: $\widehat{OAH}=\widehat{xAy}$(1) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
$\widehat{ABC}=\widehat{BAy}$ (2) (so le trong)
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được: $\widehat{OAH}+\widehat{ABC}=\widehat{xAy}+\widehat{BAy}=\widehat{xAB}$
Mà: $\widehat{xAB}=\widehat{ACB}$ (góc nội tiếp cùng chắn $\widehat{\mathrm{AB}}$)

$\Rightarrow \widehat{OAH}+\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$
Vậy $\widehat{OAH}=\widehat{ACB}-\widehat{ABC}$ (Đpcm)