Cho $△$ ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. Chứng minh $\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 10: Rèn luyện kĩ năng tìm lời giải bài toán hình học có đáp án !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách giải 1: (Hình 1)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. (ảnh 1)

Kẻ OI $⊥$ AC cắt AH ở M
Ta có: $\hat{O M H} = \hat{A C B}$ (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
$\hat{A O M} = \hat{A B C}$ (cùng bằng $\frac{1}{2}$ sđ $\hat{A C}$ )
Trong $△$ OAM thì: $\hat{O M H} = \hat{A O M} + \hat{O A H}$ (Góc ngoài tam giác)
Hay $\hat{A C B} = \hat{A B C} + \hat{O A H}$
Vậy: $\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$ (Đpcm)

Cách giải 2: (Hình 2)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. (ảnh 2)

Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại A cắt BC ở D .
Ta có: $\hat{A B C} = \hat{C A D}$ (1) (Cùng chắn )
$\hat{O A H} = \hat{A D C}$ (2) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được: $\hat{A B C} + \hat{O A H} = \hat{C A D} + \hat{A D C}$
Mà $\hat{C A D} + \hat{A D C} = \hat{A C B}$ (góc ngoài tam giác)

$\Rightarrow \hat{A B C} + \hat{O A H} = \hat{A C B}$

Vậy: $\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$ (Đpcm)

Cách giải 3: (Hình 3)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. (ảnh 3)

Kẻ đường kính AOD
Kẻ DK $⊥$ BC
Ta có DK // AH $\Rightarrow \hat{O A H} = \hat{O D K}$ (1) (so le trong)
$\hat{A B C} = \hat{A D C}$ (2) (góc nội tiếp cùng chắn $\hat{A C}$ )
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được $\hat{O A H} + \hat{A B C} = \hat{O D K} + \hat{A D C} = \hat{K D C}$
Mà: $\hat{K D C} = \hat{A C B}$ (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
$\Rightarrow \hat{O A H} + \hat{A B C} = \hat{A C B}$ . Vậy $\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$ (Đpcm)

Cách giải 4: (Hình 4)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. (ảnh 4)

Kẻ đường kính AOD
Kẻ CK $⊥$ AD
Ta có: $\hat{O A H} = \hat{K C B}$ (1) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)

$\hat{A B C} = \hat{A D C}$ (2) (góc nội tiếp cùng chắn $\hat{A C}$ )
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được: $\hat{O A H} + \hat{A B C} = \hat{K C B} + \hat{A D C}$
Mà: $\hat{A D C} = \hat{K C A}$ (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)

$\Rightarrow \hat{O A H} + \hat{A B C} = \hat{K C B} + \hat{K C A} = \hat{A C B}$
Vậy: $\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$ (Đpcm)

Cách giải 5: (Hình 5)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. (ảnh 5)

Kẻ đường kính AOD
Gọi M là giao điểm của AH và DC
Ta có: $\hat{A M C} = \hat{A C B}$ (1) (góc có cạnh các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
$\hat{A D M} = \hat{A B C}$ (2) (góc nội tiếp cùng chắn $\hat{A C}$ )
Trừ từng vế của (1) và (2) Ta được: $\hat{A M C} - \hat{A D M} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$
Mà: $\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$ (góc ngoài tam giác)
Vậy $\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$ (Đpcm)

Cách giải 6: (Hình 6)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. (ảnh 6)

Kẻ OI $⊥$ BC và OK $⊥$ AB
Ta có: $\hat{O A H} = \hat{O_{2}}$ (1) (so le trong)

$\hat{A B C} = \hat{O_{1}}$ (2) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được $\hat{O A H} + \hat{A B C} = \hat{O_{1}} + \hat{O_{2}}$
Mà $\hat{O_{1}} + \hat{O_{2}} = \hat{A C B}$ (Cùng bằng $\frac{1}{2}$ sđ $\hat{A B}$ )

$\Rightarrow \hat{O A H} + \hat{A B C} = \hat{A C B}$

Vậy $\hat{O A H} = \hat{A C B} - \hat{A B C}$ (Đpcm)

Cách giải 7: (Hình 7)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, với AB > AC. Kẻ đường cao AH, bán kính OA. (ảnh 7)

Tại A kẻ tiếp tuyến Ax và đường thẳng Ay // BC
Ta có: $\hat{O A H} = \hat{x A y}$ (1) (góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc)
$\hat{A B C} = \hat{B A y}$ (2) (so le trong)
Cộng từng vế của (1) và (2) Ta được: $\hat{O A H} + \hat{A B C} = \hat{x A y} + \hat{B A y} = \hat{x A B}$
Mà: $\hat{x A B} = \hat{A C B}$ (góc nội tiếp cùng chắn $\hat{AB}$ )