Câu hỏi:

19/08/2025 2,262

Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: $\frac{1}{P Q} = \frac{1}{P B} - \frac{1}{P C}$

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 10: Rèn luyện kĩ năng tìm lời giải bài toán hình học có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cách giải 1: (Hình 1)

Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q (ảnh 1)

Trên đoạn AP lấy hai điểm N và M sao cho BN = BP và PM = PC

Khi đó ta có các tam giác BNP và tam giác MPC là các tam giác cân

Vì

\hat{A P B} = \hat{A C B} = 60^{\circ}

và

\hat{M P C} = \hat{A B C} = 60^{\circ}

(Các góc nội tiếp cùng chắn một cung). Suy ra tam giác BNP và tam giác MPC là các tam giác đều

Xét hai tam giác

△

CQP và

△

BQN có:

\hat{B Q N} = \hat{C Q P}

(Hai góc đổi đỉnh)

\hat{B N Q} = \hat{C P Q} = 60^{\circ}

Nên

△ C Q P ~ △ B Q N \Rightarrow \frac{C P}{P Q} = \frac{B N}{N Q} = \frac{B N}{B N - P Q} \Rightarrow \frac{1}{C P} = \frac{B N - P Q}{P Q . B N}

\frac{1}{P Q} = \frac{1}{P B} - \frac{1}{P C}

(Đpcm)

Cách giải 2: (Hình 2)

Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q (ảnh 2)

Trên tia BP lấy một điểm D sao cho PD = PC
Ta có: $\hat{C P D} = 60^{\circ}$ ( Vì $\hat{C P B} = 120^{\circ}$ góc nội tiếp chắn cung $120^{\circ}$ )
nên tam giác CPD là tam giác đều $\Rightarrow \hat{A P B} = \hat{C D P} = 60^{\circ}$
Vì vậy AP // CD $\Rightarrow △$ BPQ $~ △$ BDC.

$\Rightarrow \frac{B P}{P Q} = \frac{B D}{C D} = \frac{B P + P C}{C P} \Rightarrow \frac{1}{P Q} = \frac{B P + P C}{C P . B P} \Rightarrow \frac{1}{P Q} = \frac{1}{B P} + \frac{1}{C P}$
=> $\frac{1}{P Q} = \frac{1}{P B} - \frac{1}{P C}$ (Đpcm)

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: $\frac{1}{P Q} = \frac{1}{P B} - \frac{1}{P C}$