Dạng 6: Hệ thức trong hình học có đáp án

Dành cho bạn Hot

Lớp 9 Toán

1,311 người thi tuần này

Trắc nghiệm Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 (có đáp án - phần 1)

15 câu 23.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Hóa học

90 người thi tuần này

Trắc nghiệm Hóa 9 Bài 24 (có đáp án): Ôn tập học kì 1

12 câu 3.3 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Tiếng Anh

1,355 người thi tuần này

Trắc nghiệm Tiếng Anh 9 Global Success Unit 4 Vocabulary and Grammar (có đáp án)

20 câu 2.4 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Khoa học tự nhiên

300 người thi tuần này

Trắc nghiệm Động năng lớp 9 (có đáp án)

15 câu 6 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Lịch sử

227 người thi tuần này

28 câu Trắc nghiệm Lịch sử 9 Bài 6 có đúng sai, trả lời ngắn (mới nhất)

28 câu 1.8 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Địa lý

351 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Địa lí 9 có đáp án (sách mới) - Đề 1

13 câu 622 lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Giáo dục công dân

187 người thi tuần này

15 câu trắc nghiệm GDCD 9 Kết nối tri thức Bài 2 có đáp án

15 câu 1.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 9 Tin học

140 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Tin học 9 năm 2025-2026 THCS Quế Thuận (Đà Nẵng) có đáp án

18 câu 1.2 K lượt thi Thi ngay →

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/1

Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: $\frac{1}{P Q} = \frac{1}{P B} - \frac{1}{P C}$

Xem đáp án

Lời giải

Cách giải 1: (Hình 1)

Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q (ảnh 1)

Trên đoạn AP lấy hai điểm N và M sao cho BN = BP và PM = PC

Khi đó ta có các tam giác BNP và tam giác MPC là các tam giác cân

Vì

\hat{A P B} = \hat{A C B} = 60^{\circ}

và

\hat{M P C} = \hat{A B C} = 60^{\circ}

(Các góc nội tiếp cùng chắn một cung). Suy ra tam giác BNP và tam giác MPC là các tam giác đều

Xét hai tam giác

△

CQP và

△

BQN có:

\hat{B Q N} = \hat{C Q P}

(Hai góc đổi đỉnh)

\hat{B N Q} = \hat{C P Q} = 60^{\circ}

Nên

△ C Q P ~ △ B Q N \Rightarrow \frac{C P}{P Q} = \frac{B N}{N Q} = \frac{B N}{B N - P Q} \Rightarrow \frac{1}{C P} = \frac{B N - P Q}{P Q . B N}

\frac{1}{P Q} = \frac{1}{P B} - \frac{1}{P C}

(Đpcm)

Cách giải 2: (Hình 2)

Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q (ảnh 2)

Trên tia BP lấy một điểm D sao cho PD = PC
Ta có: $\hat{C P D} = 60^{\circ}$ ( Vì $\hat{C P B} = 120^{\circ}$ góc nội tiếp chắn cung $120^{\circ}$ )
nên tam giác CPD là tam giác đều $\Rightarrow \hat{A P B} = \hat{C D P} = 60^{\circ}$
Vì vậy AP // CD $\Rightarrow △$ BPQ $~ △$ BDC.

$\Rightarrow \frac{B P}{P Q} = \frac{B D}{C D} = \frac{B P + P C}{C P} \Rightarrow \frac{1}{P Q} = \frac{B P + P C}{C P . B P} \Rightarrow \frac{1}{P Q} = \frac{1}{B P} + \frac{1}{C P}$
=> $\frac{1}{P Q} = \frac{1}{P B} - \frac{1}{P C}$ (Đpcm)

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: $\frac{1}{P Q} = \frac{1}{P B} - \frac{1}{P C}$