Dạng 6: Hệ thức trong hình học có đáp án

✕

✨ Đăng kí VIP để truy cập không giới hạn. Đăng ký ngay

🔥 Đề thi HOT:

1129 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

14.3 K lượt thi 15 câu hỏi

594 người thi tuần này

Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án

11.5 K lượt thi 5 câu hỏi

383 người thi tuần này

12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên có lời giải

2.3 K lượt thi 12 câu hỏi

365 người thi tuần này

Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án

38.4 K lượt thi 4 câu hỏi

221 người thi tuần này

12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất phương trình bậc nhất một ẩn có lời giải

4.5 K lượt thi 12 câu hỏi

204 người thi tuần này

15 câu trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 13. Mở đầu về đường tròn có đáp án

1.2 K lượt thi 15 câu hỏi

204 người thi tuần này

Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án

38.2 K lượt thi 3 câu hỏi

189 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn có đáp án

3.1 K lượt thi 15 câu hỏi

Nội dung liên quan:

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 1: Biểu thức số có đáp án

lượt thi

1 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 2-1: Biểu thức chứa chữ có đáp án

lượt thi

1 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 2-2: Hàm số và đồ thị có đáp án

lượt thi

1 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 3: Phương trình có đáp án

lượt thi

3 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 4: Hệ phương trình có đáp án

lượt thi

2 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 5: Các bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có đáp án

lượt thi

9 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 0: Hệ thức lượng có đáp án

lượt thi

2 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 1: Tam giác đồng dạng, Định lí Talet có đáp án

lượt thi

2 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 2: Tổng quan về đường tròn có đáp án

lượt thi

3 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 3: Vị trí tương đối của đường thằng và đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn có đáp án

lượt thi

3 đề

Danh sách câu hỏi:

Câu 1

Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: $\frac{1}{P Q} = \frac{1}{P B} - \frac{1}{P C}$

Xem đáp án

Lời giải

Cách giải 1: (Hình 1)

Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q (ảnh 1)

Trên đoạn AP lấy hai điểm N và M sao cho BN = BP và PM = PC

Khi đó ta có các tam giác BNP và tam giác MPC là các tam giác cân

Vì

\hat{A P B} = \hat{A C B} = 60^{\circ}

và

\hat{M P C} = \hat{A B C} = 60^{\circ}

(Các góc nội tiếp cùng chắn một cung). Suy ra tam giác BNP và tam giác MPC là các tam giác đều

Xét hai tam giác

△

CQP và

△

BQN có:

\hat{B Q N} = \hat{C Q P}

(Hai góc đổi đỉnh)

\hat{B N Q} = \hat{C P Q} = 60^{\circ}

Nên

△ C Q P ~ △ B Q N \Rightarrow \frac{C P}{P Q} = \frac{B N}{N Q} = \frac{B N}{B N - P Q} \Rightarrow \frac{1}{C P} = \frac{B N - P Q}{P Q . B N}

\frac{1}{P Q} = \frac{1}{P B} - \frac{1}{P C}

(Đpcm)

Cách giải 2: (Hình 2)

Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q (ảnh 2)

Trên tia BP lấy một điểm D sao cho PD = PC
Ta có: $\hat{C P D} = 60^{\circ}$ ( Vì $\hat{C P B} = 120^{\circ}$ góc nội tiếp chắn cung $120^{\circ}$ )
nên tam giác CPD là tam giác đều $\Rightarrow \hat{A P B} = \hat{C D P} = 60^{\circ}$
Vì vậy AP // CD $\Rightarrow △$ BPQ $~ △$ BDC.

$\Rightarrow \frac{B P}{P Q} = \frac{B D}{C D} = \frac{B P + P C}{C P} \Rightarrow \frac{1}{P Q} = \frac{B P + P C}{C P . B P} \Rightarrow \frac{1}{P Q} = \frac{1}{B P} + \frac{1}{C P}$
=> $\frac{1}{P Q} = \frac{1}{P B} - \frac{1}{P C}$ (Đpcm)