Dạng 6: Hệ thức trong hình học có đáp án

✕

✨ Đăng kí VIP để truy cập không giới hạn. Đăng ký ngay

🔥 Đề thi HOT:

826 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

5.1 K lượt thi 15 câu hỏi

443 người thi tuần này

Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án

30.6 K lượt thi 4 câu hỏi

433 người thi tuần này

Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án

30.6 K lượt thi 3 câu hỏi

219 người thi tuần này

12 bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến bất phương trình bậc nhất một ẩn có lời giải

2.3 K lượt thi 12 câu hỏi

197 người thi tuần này

Tổng hợp các bài toán thực tế ôn thi vào 10 Toán 9 có đáp án (Phần 1: Đại số)

6.6 K lượt thi 188 câu hỏi

178 người thi tuần này

Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án

7.4 K lượt thi 5 câu hỏi

171 người thi tuần này

12 bài tập Nhận biết phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có lời giải

1.2 K lượt thi 12 câu hỏi

163 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Cánh diều Bài 1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn có đáp án

1.4 K lượt thi 15 câu hỏi

Nội dung liên quan:

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 1: Biểu thức số có đáp án

lượt thi

1 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 2-1: Biểu thức chứa chữ có đáp án

lượt thi

1 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 2-2: Hàm số và đồ thị có đáp án

lượt thi

1 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 3: Phương trình có đáp án

lượt thi

3 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 4: Hệ phương trình có đáp án

lượt thi

2 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 5: Các bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có đáp án

lượt thi

9 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 0: Hệ thức lượng có đáp án

lượt thi

2 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 1: Tam giác đồng dạng, Định lí Talet có đáp án

lượt thi

2 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 2: Tổng quan về đường tròn có đáp án

lượt thi

3 đề

Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 3: Vị trí tương đối của đường thằng và đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn có đáp án

lượt thi

3 đề

Danh sách câu hỏi:

Câu 1

Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: $\frac{1}{P Q} = \frac{1}{P B} - \frac{1}{P C}$

Xem đáp án

Lời giải

Cách giải 1: (Hình 1)

Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q (ảnh 1)

Trên đoạn AP lấy hai điểm N và M sao cho BN = BP và PM = PC

Khi đó ta có các tam giác BNP và tam giác MPC là các tam giác cân

Vì

\hat{A P B} = \hat{A C B} = 60^{\circ}

và

\hat{M P C} = \hat{A B C} = 60^{\circ}

(Các góc nội tiếp cùng chắn một cung). Suy ra tam giác BNP và tam giác MPC là các tam giác đều

Xét hai tam giác

△

CQP và

△

BQN có:

\hat{B Q N} = \hat{C Q P}

(Hai góc đổi đỉnh)

\hat{B N Q} = \hat{C P Q} = 60^{\circ}

Nên

△ C Q P ~ △ B Q N \Rightarrow \frac{C P}{P Q} = \frac{B N}{N Q} = \frac{B N}{B N - P Q} \Rightarrow \frac{1}{C P} = \frac{B N - P Q}{P Q . B N}

\frac{1}{P Q} = \frac{1}{P B} - \frac{1}{P C}

(Đpcm)

Cách giải 2: (Hình 2)

Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P tuỳ ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại điểm Q (ảnh 2)

Trên tia BP lấy một điểm D sao cho PD = PC
Ta có: $\hat{C P D} = 60^{\circ}$ ( Vì $\hat{C P B} = 120^{\circ}$ góc nội tiếp chắn cung $120^{\circ}$ )
nên tam giác CPD là tam giác đều $\Rightarrow \hat{A P B} = \hat{C D P} = 60^{\circ}$
Vì vậy AP // CD $\Rightarrow △$ BPQ $~ △$ BDC.

$\Rightarrow \frac{B P}{P Q} = \frac{B D}{C D} = \frac{B P + P C}{C P} \Rightarrow \frac{1}{P Q} = \frac{B P + P C}{C P . B P} \Rightarrow \frac{1}{P Q} = \frac{1}{B P} + \frac{1}{C P}$
=> $\frac{1}{P Q} = \frac{1}{P B} - \frac{1}{P C}$ (Đpcm)