Câu hỏi:
12/07/2024 2,831
Cho hai đường tròn (O)và (O’) tiếp xúc ngoài tại I. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng:
a) MNPQ là hình thang cân.
b) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O)và (O’).
c) .
Cho hai đường tròn (O)và (O’) tiếp xúc ngoài tại I. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O’). Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’. Chứng minh rằng:
a) MNPQ là hình thang cân.
b) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O)và (O’).
c) .
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phân tích đề bài
a) MNPQ là hình thang cân
b) PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Tương tự với chứng minh PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
c) Ta thấy MP và NQ là hai đáy của hình thang MNPQ nên tổng MP + NQ gấp 2 lần độ dài đường trung bình của hình thang MNPQ. Dựng EF là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn. Ta chứng mính được EF là đường trung bình của hình thang MNPQ.
.
Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta chứng minh được .
Giải chi tiết
a) Vì P đối xứng với M qua OO’ (1) và Q đối xứng với N qua OO’ (2) nên:
là hình thang. (3)
Lại có H đối xứng với H qua OO’. (4)
Từ (1),(2) và (4) suy ra đối xứng với qua OO’ nên . (5)
Từ (3) và (5) suy ra MNPQ là hình thang cân.
b) Vì P đối xứng với M qua OO’ nên . Khi đó OM = OP nên cân tại O.
. (6)
Từ (5) và (6) suy ra hay PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tương tự ta cũng có PQ là tiếp tuyến của (O’).
Vậy PQ là tiếp tuyến của hai đường tròn (O) và (O’).
c) Ta có (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại I. Qua I kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: .
Ta có: (vì EF là đường trung bình của hình thang MNPQ).
Vậy .
Chú ý:
Ở câu c) các em có thể mắc phải sai lầm như sau:
“Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MN, PQ. Suy ra EF là đường trung bình của hình thang MNPQ cũng là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.”
Bởi vì ta chưa biết chắc được EF có vuông góc với bán kính của (O) tại một điểm thuộc (O) hay không. Tương tự với đường tròn (O’).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Đường nối tâm OO’ cắt (O), (O’) lần lượt tại B, C. Dây DE của (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
a) Chứng minh BDCE là hình thoi.
b) Gọi I là giao điểm của EC và (O’). Chứng minh D, A, I thẳng hàng.
c) Chứng minh KI là tiếp tuyến của (O’).
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Đường nối tâm OO’ cắt (O), (O’) lần lượt tại B, C. Dây DE của (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
a) Chứng minh BDCE là hình thoi.
b) Gọi I là giao điểm của EC và (O’). Chứng minh D, A, I thẳng hàng.
c) Chứng minh KI là tiếp tuyến của (O’).
Xem đáp án »
11/07/2024
2,935
Câu 2:
Cho hai đường tròn cắt nhau tại H và K, đường thẳng cắt tại A, cắt tại B, cắt tại C, cắt tại D. Chứng minh ba đường thẳng AC, BD, HK đồng quy tại một điểm.
Cho hai đường tròn cắt nhau tại H và K, đường thẳng cắt tại A, cắt tại B, cắt tại C, cắt tại D. Chứng minh ba đường thẳng AC, BD, HK đồng quy tại một điểm.
Xem đáp án »
30/08/2022
2,065
về câu hỏi!