b) Chứng minh $A D . A K = A B^{2}$ và $A D . A K + O H . O A = O A^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) Chứng minh $A D . A K = A B^{2}$ và $A D . A K + O H . O A = O A^{2}$

Ta có $∠ A B D = ∠ B K D$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $B D$

Xét $∆ A B D$ và $∆ A K B$ ta có :

$∠ B A K c h u n g, ∠ A B D = ∠ B K D (c m t)$

$\Rightarrow Δ A B D ∽ Δ A K B (g . g) \Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A B}{A K}$ (2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow A D . A K = A B^{2} (1)$

Ta có: $O B = O C (= R)$ nên $O$ thuộc trung trực của $B C$

$A B = A C$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên A thuộc trung trực của BC

$\Rightarrow O A$ là trung trực của $B C \Rightarrow O A ⊥ B C$ tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AOB vuông tại B đường cao BH ta có : $\{\begin{cases} O B^{2} = O H . O A \\ O A^{2} = O B^{2} + A B^{2} \end{cases} (2)$

Từ (1) và (2) ta có: $A D . A K + O H . O A = A B^{2} + O B^{2} = O A^{2} (d f c m)$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ thỏa mãn $\sqrt{y_{1}} + \sqrt{y_{2}} = 1$

Xem đáp án

Lời giải

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})$ thỏa mãn $\sqrt{y_{1}} + \sqrt{y_{2}} = 1$

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) ta được :

$x^{2} = x - m + 3 \Leftrightarrow x^{2} - x + m - 3 = 0 (1)$

Để $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow Δ > 0 \Leftrightarrow 1 - 4 (m - 3) > 0 \Leftrightarrow 1 - 4 m + 12 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{13}{4} (*)$

Khi đó, áp dụng hệ thức Vi-et ta có : $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 \\ x_{1} x_{2} = m - 3 \end{cases}$ .

Ta có $A, B \in (P)$ nên $A (x_{1}; x_{1}^{2}), B (x_{2}; x_{2}^{2})$ . Khi đó ta có :

$\begin{array}{l} \sqrt{y_{1}} + \sqrt{y_{2}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt{x_{1}^{2}} + \sqrt{x_{2}^{2}} = 1 \Leftrightarrow |x_{1}| + |x_{2}| = 1 \\ \Leftrightarrow {(|x_{1}| + |x_{2}|)}^{2} = 1 \Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 |x_{1} x_{2}| = 1 \\ \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 2 |x_{1} x_{2}| = 1 \Leftrightarrow 1 - 2 (m - 3) + 2 |m - 3| = 1 \\ \Leftrightarrow |m - 3| = m - 3 \Leftrightarrow m - 3 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 3 \end{array}$

Kết hợp với điều kiện $(*)$ ta được $3 \leq m \leq \frac{13}{4}$

Vậy $3 \leq m \leq \frac{13}{4}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2

a) Theo kế hoạch, một đội xe phải chở $150$ tấn hàng từ một khu công nghiệp thuộc huyện Châu Đức đến cảng Cái Mép – Thị Vải. Khi thực hiện thì trong đội có 5 xe phải đi làm việc khác, nên mỗi xe còn lại của đội phải chở thêm 5 tấn hàng. Tính số xe lúc đầu của đội (biết khối lượng trên mỗi xe chở là như nhau)

Xem đáp án

Lời giải

a) Theo kế hoạch, một đội xe phải chở 150 tấn hàng từ một khu công nghiệp thuộc huyện Châu Đức đến cảng Cái Mép – Thị Vải. Khi thực hiện thì trong đội có 5 xe phải đi làm việc khác, nên mỗi xe còn lại của đội phải chở thêm 5 tấn hàng. Tính số xe lúc đầu của đội (biết khối lượng trên mỗi xe chở là như nhau)

Gọi số xe lúc đầu của đội là $x (x > 5, x \in ℕ)$ (xe)

Số hàng mà mỗi xe phải chở là $\frac{150}{x}$ (tấn hàng)

Số xe thực tế tham gia chở hàng là $x - 5$ (xe)

Số hàng thực tế mà mỗi xe phải chở là : $\frac{150}{x - 5}$ (tấn hàng)

Do thực tế mỗi xe phải chở thêm 5 tấn hàng nên ta có phương trình :

$\begin{array}{l} \frac{150}{x - 5} - \frac{150}{x} = 5 \Rightarrow 150 x - 150 x + 750 = 5 x (x - 5) \\ \Leftrightarrow 5 x^{2} - 25 x - 750 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x - 150 = 0 \\ Δ = {(- 5)}^{2} - 4.1. (- 150) = 625 > 0 \Rightarrow \sqrt{Δ} = 25 \end{array}$

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$[\begin{array}{l} x_{1} = \frac{5 + 25}{2} = 15 (t m) \\ x_{2} = \frac{5 - 25}{2} = - 10 (k t m) \end{array}$

Vậy số xe tham gia chở hàng lúc đầu của đội là 15 xe

Câu 3