Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Từ đỉnh A ta kẻ đường cao AH (H thuộc BC). Chứng minh rằng  $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}$.

Giải chi tiết

Ta luôn có DB=DC do AD là tia phân giác trong góc A. Ta sẽ chứng minh tam giác DIB cân tại D.

Thật vậy ta có:  $\widehat{IBD}=\widehat{IBC}+\widehat{CBD}$.

Mặt khác  $\widehat{CBD}=\widehat{CAD}$ (góc nội tiếp chắn cung  CD).

Mà  $\widehat{BAD}=\widehat{CAD},\widehat{IBC}=\widehat{IBA}$ (tính chất phân giác) suy ra  $\widehat{IBD}=\widehat{ABI}+\widehat{BAI}$.

Nhưng  $\widehat{BID}=\widehat{ABI}+\widehat{BAI}$ (tính chất góc ngoài của  $\Delta ABI$). Suy ra  $\widehat{IBD}=\widehat{BID}$.

Vậy tam giác BID cân tại D, suy ra  $DB=DI=DC$.

Nhận xét

Thông qua bài toán này ta có thêm tính chất: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC là giao điểm của phân giác trong góc A với (O).

Vì O là tâm của hình vuông nên  $\widehat{BOC}=90°$.

Lại có  $\widehat{BAC}=90°$ suy ra bốn điểm  $A,B,O,C$ cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

Đối với đường tròn này ta thấy  $\widehat{BAO}=\widehat{BCO}$ (góc nội tiếp cùng chắn  $\stackrel{⏜}{BO}$).

Mà  $\widehat{BCO}=45°\Rightarrow \widehat{BAO}=45°$.

Do  $\widehat{BAC}=45°$, nên  $\widehat{CAO}=\widehat{BAC}-\widehat{BAO}=45°$.

Vậy   $\widehat{BAO}=\widehat{CAO}$, nghĩa là AO là tia phân giác của góc vuông  $\widehat{BAC}$ (đpcm).