Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Đường phân giác trong góc A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại D. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh  $DB=DC=DI$.

Giải chi tiết

Ta luôn có DB=DC do AD là tia phân giác trong góc A. Ta sẽ chứng minh tam giác DIB cân tại D.

Thật vậy ta có:  $\widehat{IBD}=\widehat{IBC}+\widehat{CBD}$.

Mặt khác  $\widehat{CBD}=\widehat{CAD}$ (góc nội tiếp chắn cung  CD).

Mà  $\widehat{BAD}=\widehat{CAD},\widehat{IBC}=\widehat{IBA}$ (tính chất phân giác) suy ra  $\widehat{IBD}=\widehat{ABI}+\widehat{BAI}$.

Nhưng  $\widehat{BID}=\widehat{ABI}+\widehat{BAI}$ (tính chất góc ngoài của  $\Delta ABI$). Suy ra  $\widehat{IBD}=\widehat{BID}$.

Vậy tam giác BID cân tại D, suy ra  $DB=DI=DC$.

Nhận xét

Thông qua bài toán này ta có thêm tính chất: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC là giao điểm của phân giác trong góc A với (O).