Câu hỏi:

19/08/2025 31,851

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8, AC = 15. Vẽ đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD, cắt AC ở E.

a) Chứng minh rằng HE là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Tính độ dài HE.

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 3: Vị trí tương đối của đường thằng và đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Gọi O là trung điểm của CD.

Vì tam giác DEC có một cạnh DC là đường kính của đường tròn (O) nên $\hat{D E C} = 90 °$ .

Kẻ $H F ⊥ A C \Rightarrow B A // H F // E D \Rightarrow A F = E F$

$\Rightarrow Δ A H E$ cân tại H $\Rightarrow \hat{H A E} = \hat{H E A}$ (hai góc đáy).

Mà $\hat{H A E} = \hat{A B H}$ (vì cùng phụ với $\hat{H A B}$ ).

Suy ra $\hat{H E A} = \hat{A B H}$ . (1)

Mặt khác ta cũng có $\hat{O E C} = \hat{O C E}$ (do $Δ E O C$ cân tại O). (2)

Từ (1) và (2) ta có

$\hat{A B H} + \hat{A C H} = 90 ° \Rightarrow \hat{A E H} + \hat{C E O} = 90 ° \Rightarrow \hat{H E O} = 90$ hay HK là tiếp tuyến của (O).

b) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta được:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 289 \Rightarrow B C = 17$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta được:

$A H . B C = A B . A C \Rightarrow A H = \frac{A B . A C}{B C} = \frac{8.15}{17} = \frac{120}{17}$ .

Do $Δ H A E$ cân tại H nên $H E = A H = \frac{120}{17}$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

Yen To

1 năm trước
Trả lời

Xem thêm ...

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M.

a) Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình thoi.

b) Điểm A phải cách điểm O một khoảng bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của (O).

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Dễ thấy $O N // A M$ và $O M // A N$ nên AMON là hình bình hành.

Ta có: $\hat{O_{1}} + \hat{M O N} = 90 °; \hat{O_{4}} + \hat{M O N} = 90 ° \Rightarrow \hat{O_{1}} = \hat{O_{4}}$ .

$\Rightarrow Δ M B O = Δ N C O (g.c.g) \Rightarrow O M = O N$ .

Vậy AMON là hình thoi.

b) Gọi I là giao điểm của AO và MN. Vì AMON là hình thoi nên I trung điểm của OA và $M N ⊥ O A$ .

Do đó MN là tiếp tuyến của (O) $\Leftrightarrow I$ thuộc đường tròn (O) $\Leftrightarrow O A = 2 O I = 2 R$ .

Câu 2

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d cố định không cắt đường tròn. Từ một điểm A bất kỳ trên đường thẳng d kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AO tại H, trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho H là trung điểm của BC.

a) Chứng minh C thuộc đường tròn (O; R) và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

b) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại I, OI cắt BC tại K.

Chứng minh $O I . O K = R^{2}$ .

c) Chứng minh khi A thay đổi trên đường thẳng d thì đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) $Δ H B O = H C O (c.g.c) \Rightarrow O B = O C$

$\Rightarrow C$ thuộc đường tròn (O; R).

$Δ A B O = Δ A C O (c.g.c) \Rightarrow \hat{A B O} = \hat{A C O} = 90 °$

$\Rightarrow A C ⊥ C O$ . Vậy AC là tiếp tuyến của (O; R).

b) Ta có:

$Δ O H K ~ Δ O I A \Rightarrow \frac{O H}{O I} = \frac{O K}{O A} \Rightarrow O H . O A = O I . O K$ .

$Δ A B O$ vuông tại B có $B H ⊥ O A$ nên

$O B^{2} = O H . O A \Rightarrow O A . O A = R^{2}$ .

Do đó $O H . O A = O I . O K = R^{2}$ .

c) Theo câu b) ta có: $O I . O K = R^{2} \Rightarrow O K = \frac{R^{2}}{O I}$ không đổi.

Mà K thuộc OI cố định nên K cố định.

Vậy khi A thay đổi trên đường thẳng d thì đường thẳng BC luôn đi qua điểm K cố định.

Câu 3

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho $\hat{C A B} = 30 °$ . Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho B là trung điểm của OM. Chứng minh rằng:

a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) $M C^{2} = 3 R^{2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho đường tròn (O) đường kính AB có Ax, By là 2 tia tiếp tuyến của (O) (Ax, By) cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB). Trên tia Ax lấy điểm C sao cho $\hat{C O D} = 90$ . Chứng minh rằng CD tiếp xúc với đường tròn (O).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng với H qua AB, AC. E, D là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại B. Vẽ đường kính AB của đường tròn (O) và đường kính BC của đường tròn (O’). Đường tròn đường kính OC cắt (O) tại M và N.

a) Đường thẳng CM cắt (O’) tại P. Chứng minh: $O M // B P$ .

b) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với CM cắt tia ON tại D. Chứng minh tam giác OCD là tam giác cân.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8, AC = 15. Vẽ đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD, cắt AC ở E.

a) Chứng minh rằng HE là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Tính độ dài HE.

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho $\hat{C A B} = 30 °$ . Trên tia đối của tia BA, lấy điểm M sao cho B là trung điểm của OM. Chứng minh rằng:

a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) $M C^{2} = 3 R^{2}$ .

Cho đường tròn (O) đường kính AB có Ax, By là 2 tia tiếp tuyến của (O) (Ax, By) cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB). Trên tia Ax lấy điểm C sao cho $\hat{C O D} = 90$ . Chứng minh rằng CD tiếp xúc với đường tròn (O).