Ta có: $\widehat{BMA}=\widehat{BME}+\widehat{AME}=\widehat{BHE}+\widehat{AHE}=90°$.

Tương tự ta có: $\widehat{ANC}=90°$.

$\widehat{MAN}=\widehat{MAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAN}=2\widehat{BAC}=180°$.

$\Rightarrow M,A,N$ thẳng hàng.

Gọi K là trung điểm của BC. Xét tứ giác BMNC có $MB\text{//}NC$ (cùng vuông góc với MN) nên BMNC là hình thang.

Lại có AM = AH =AN (tính chất đối xứng) nên A là trung điểm của MN.

Suy ra KA là đường trung bình của hình thang nên $KA\perp MN$ tại A. Do đó MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

Từ C vẽ tiếp tuyến CD’ của đường tròn (O) (D’ thuộc By) tiếp xúc với (O) tại tiếp điểm H.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là phân giác của $\widehat{AOH}$ và OD’ là phân giác của $\widehat{BOH}$.

Mà hai góc $\widehat{AOH}$ và $\widehat{BOH}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{CO{D}^{\text{'}}}=90°$.

Mà theo giả thiết $\widehat{COD}=90°$ và D, D’ đều thuộc By nên suy ra D’ = D.

Vì CD’ là tiếp tuyến của (O) nên CD cũng là tiếp tuyến của (O).

a) Ta có: $\widehat{COB}=\widehat{CAO}+\widehat{ACO}=2\widehat{CAO}=60°$ (góc ngoài của $\Delta ACO$).

Suy ra $\Delta COB$ là tam giác đều.

$\Rightarrow CB=OB=BM\Rightarrow \Delta COM$ vuông tại C hay $OM\perp OC$.

Vậy MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OMC có:

$O{M}^2=O{C}^2+C{M}^2\Rightarrow C{M}^2=O{M}^2-O{C}^2={\left(2R\right)}^2-R^2=3R^2$.

a) Gọi O là trung điểm của CD.

Vì tam giác DEC có một cạnh DC là đường kính của đường tròn (O) nên $\widehat{DEC}=90°$.

Kẻ $HF\perp AC\Rightarrow BA\text{//}HF\text{//}ED\Rightarrow AF=EF$

$\Rightarrow \Delta AHE$ cân tại H $\Rightarrow \widehat{HAE}=\widehat{HEA}$ (hai góc đáy).

Mà $\widehat{HAE}=\widehat{ABH}$ (vì cùng phụ với $\widehat{HAB}$).

Suy ra $\widehat{HEA}=\widehat{ABH}$.                                                            (1)

Mặt khác ta cũng có $\widehat{OEC}=\widehat{OCE}$ (do $\Delta EOC$ cân tại O). (2)

Từ (1) và (2) ta có

$\widehat{ABH}+\widehat{ACH}=90°\Rightarrow \widehat{AEH}+\widehat{CEO}=90°\Rightarrow \widehat{HEO}=90$ hay HK là tiếp tuyến của (O).

b) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta được:

            $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=8^2+{15}^2=289\Rightarrow BC=17$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta được:

            $AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{8.15}{17}=\frac{120}{17}$.

Do $\Delta HAE$ cân tại H nên $HE=AH=\frac{120}{17}$.

Ta có: $\widehat{M_1}=\widehat{M_2}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

            $\widehat{M_2}=\widehat{M_3}$ (do $\Delta CMO$ cân tại M).

$\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{M_2}=\widehat{M_3}=\frac{1}{2}\widehat{AMB}$,

$\Rightarrow \widehat{BMC}=\frac{1}{2}\widehat{BMA}$,