Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D, E sao cho DOE^=60°. a) Chứng minh rằng BD.CE không đổi. b) Chứng minh ΔBOD~ΔOED. Từ đó suy ra tia D...

a) DOC^ là góc ngoài của tam giác BOD nên DOC^=DBO^+BDO^=60°+BDO^. (1) Mà DOC^=DOE^+COE^=60°+COE^ (2) Từ (1) và (2) suy ra BDO^=COE^. Do đó ΔBOD~ΔCEOg.g⇒BDCO=OBCE⇒BD.CE=OC.OB=BC24 (không đổi). b) ΔBOD~ΔCEO⇒BDCO=ODOE⇔BDOD=COOE⇔BDOD=OBOE (vì OB = OC). Do đó ΔBOD~ΔOEDc.g.c. c) Giả sử AB tiếp xúc với (O) tại H, kẻ OK⊥DEK∈DE. Xét ΔHDO và ΔKDO có: DHO^=DKO^=90° OD chung HDO^=KDO^ (chứng minh trên) ⇒ΔHDO=ΔKDO (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒OK=OH. Vậy đường tròn (O) luôn tiếp xúc với DE.

Câu hỏi:

12/07/2024 853

Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D, E sao cho $\hat{D O E} = 60 °$ .

a) Chứng minh rằng BD.CE không đổi.

b) Chứng minh $Δ B O D ~ Δ O E D$ . Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của góc BDE.

c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 3: Vị trí tương đối của đường thằng và đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) $\hat{D O C}$ là góc ngoài của tam giác BOD nên $\hat{D O C} = \hat{D B O} + \hat{B D O} = 60 ° + \hat{B D O}$ . (1)

Mà $\hat{D O C} = \hat{D O E} + \hat{C O E} = 60 ° + \hat{C O E}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{B D O} = \hat{C O E}$ .

Do đó $Δ B O D ~ Δ C E O (g.g)$ $\Rightarrow \frac{B D}{C O} = \frac{O B}{C E} \Rightarrow B D . C E = O C . O B = \frac{B C^{2}}{4}$ (không đổi).

b) $Δ B O D ~ Δ C E O \Rightarrow \frac{B D}{C O} = \frac{O D}{O E} \Leftrightarrow \frac{B D}{O D} = \frac{C O}{O E} \Leftrightarrow \frac{B D}{O D} = \frac{O B}{O E}$ (vì OB = OC).

Do đó $Δ B O D ~ Δ O E D (c.g.c)$ .

c) Giả sử AB tiếp xúc với (O) tại H, kẻ $O K ⊥ D E (K \in D E)$ .

Xét $Δ H D O$ và $Δ K D O$ có: $\hat{D H O} = \hat{D K O} = 90 °$

OD chung

$\hat{H D O} = \hat{K D O}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow Δ H D O = Δ K D O$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow O K = O H$ .

Vậy đường tròn (O) luôn tiếp xúc với DE.

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M.

a) Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình thoi.

b) Điểm A phải cách điểm O một khoảng bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của (O).

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Dễ thấy $O N // A M$ và $O M // A N$ nên AMON là hình bình hành.

Ta có: $\hat{O_{1}} + \hat{M O N} = 90 °; \hat{O_{4}} + \hat{M O N} = 90 ° \Rightarrow \hat{O_{1}} = \hat{O_{4}}$ .

$\Rightarrow Δ M B O = Δ N C O (g.c.g) \Rightarrow O M = O N$ .

Vậy AMON là hình thoi.

b) Gọi I là giao điểm của AO và MN. Vì AMON là hình thoi nên I trung điểm của OA và $M N ⊥ O A$ .

Do đó MN là tiếp tuyến của (O) $\Leftrightarrow I$ thuộc đường tròn (O) $\Leftrightarrow O A = 2 O I = 2 R$ .

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8, AC = 15. Vẽ đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD, cắt AC ở E.

a) Chứng minh rằng HE là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Tính độ dài HE.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Gọi O là trung điểm của CD.

Vì tam giác DEC có một cạnh DC là đường kính của đường tròn (O) nên $\hat{D E C} = 90 °$ .

Kẻ $H F ⊥ A C \Rightarrow B A // H F // E D \Rightarrow A F = E F$

$\Rightarrow Δ A H E$ cân tại H $\Rightarrow \hat{H A E} = \hat{H E A}$ (hai góc đáy).

Mà $\hat{H A E} = \hat{A B H}$ (vì cùng phụ với $\hat{H A B}$ ).

Suy ra $\hat{H E A} = \hat{A B H}$ . (1)

Mặt khác ta cũng có $\hat{O E C} = \hat{O C E}$ (do $Δ E O C$ cân tại O). (2)

Từ (1) và (2) ta có

$\hat{A B H} + \hat{A C H} = 90 ° \Rightarrow \hat{A E H} + \hat{C E O} = 90 ° \Rightarrow \hat{H E O} = 90$ hay HK là tiếp tuyến của (O).

b) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta được:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 289 \Rightarrow B C = 17$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta được:

$A H . B C = A B . A C \Rightarrow A H = \frac{A B . A C}{B C} = \frac{8.15}{17} = \frac{120}{17}$ .

Do $Δ H A E$ cân tại H nên $H E = A H = \frac{120}{17}$ .

Câu 3