Câu hỏi:

13/07/2024 5,674

Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r). Dây AB của (O; R) tiếp xúc với (O; r). Trên tia AB lấy điểm E sao cho B là trung điểm của đoạn AE. Từ E vẽ tiếp tuyến thứ hai của (O; r) cắt (O; R) tại C và D (D ở giữa E và C).

a) Chứng minh EA = EC.

b) Chứng minh EO vuông góc với BD.

c) Điểm E chạy trên đường nào khi dây AB của (O; R) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với (O; r)?

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 3: Vị trí tương đối của đường thằng và đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Kẻ $O H ⊥ A B (H \in A B), O K ⊥ C D (K \in C D)$ .

Ta có OH = OK (bán kính đường tròn (O; r) nên AB = CD (liên hệ khoảng cách từ tâm đến dây).

Mà $H A = H B = \frac{1}{2} A B, K D = K C = \frac{1}{2} D C$ (quan hệ đường kính và dây cung)

Nên $H A = H B = D K = K C$ . (1)

EH và EK là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; r) nên theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: HE = EK. (2)

Từ (1) và (2) ta có: $E H + H A = E K + K C \Leftrightarrow E A = E C$ (đpcm).

b) Dễ thấy $\frac{E B}{E H} = \frac{E D}{E K} \Rightarrow B D // H K$ .

Mà $O E ⊥ H K$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $B D ⊥ O E$ .

c) Ta có OH = r, OB = R. Ta tính được $H B = \sqrt{R^{2} - r^{2}}$ .

$E B = A B = 2 B H \Rightarrow E H = 3 B H = 3 \sqrt{R^{2} - r^{2}}$ .

$O E = \sqrt{E H^{2} + O H^{2}} = \sqrt{9 (R^{2} - r^{2}) + r^{2}} = \sqrt{9 R^{2} - 8 r^{2}}$ (không đổi).

Do O cố định nên E luôn chạy trên đường tròn $(O; \sqrt{9 R^{2} - 8 r^{2}})$ .

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M.

a) Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình thoi.

b) Điểm A phải cách điểm O một khoảng bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của (O).

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Dễ thấy $O N // A M$ và $O M // A N$ nên AMON là hình bình hành.

Ta có: $\hat{O_{1}} + \hat{M O N} = 90 °; \hat{O_{4}} + \hat{M O N} = 90 ° \Rightarrow \hat{O_{1}} = \hat{O_{4}}$ .

$\Rightarrow Δ M B O = Δ N C O (g.c.g) \Rightarrow O M = O N$ .

Vậy AMON là hình thoi.

b) Gọi I là giao điểm của AO và MN. Vì AMON là hình thoi nên I trung điểm của OA và $M N ⊥ O A$ .

Do đó MN là tiếp tuyến của (O) $\Leftrightarrow I$ thuộc đường tròn (O) $\Leftrightarrow O A = 2 O I = 2 R$ .

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8, AC = 15. Vẽ đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD, cắt AC ở E.

a) Chứng minh rằng HE là tiếp tuyến của đường tròn.

b) Tính độ dài HE.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Gọi O là trung điểm của CD.

Vì tam giác DEC có một cạnh DC là đường kính của đường tròn (O) nên $\hat{D E C} = 90 °$ .

Kẻ $H F ⊥ A C \Rightarrow B A // H F // E D \Rightarrow A F = E F$

$\Rightarrow Δ A H E$ cân tại H $\Rightarrow \hat{H A E} = \hat{H E A}$ (hai góc đáy).

Mà $\hat{H A E} = \hat{A B H}$ (vì cùng phụ với $\hat{H A B}$ ).

Suy ra $\hat{H E A} = \hat{A B H}$ . (1)

Mặt khác ta cũng có $\hat{O E C} = \hat{O C E}$ (do $Δ E O C$ cân tại O). (2)

Từ (1) và (2) ta có

$\hat{A B H} + \hat{A C H} = 90 ° \Rightarrow \hat{A E H} + \hat{C E O} = 90 ° \Rightarrow \hat{H E O} = 90$ hay HK là tiếp tuyến của (O).

b) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta được:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 289 \Rightarrow B C = 17$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta được:

$A H . B C = A B . A C \Rightarrow A H = \frac{A B . A C}{B C} = \frac{8.15}{17} = \frac{120}{17}$ .

Do $Δ H A E$ cân tại H nên $H E = A H = \frac{120}{17}$ .

Câu 3