Trên nửa đường tròn đường kính AB lấy hai điểm I, Q sao cho I thuộc cung AQ Gọi C là giao điểm hai tia AI và BQ . H là giao điểm của hai dây AQ và BI

a,Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp

c)    Áp dụng định lý Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1{x}_2=-4m-5\end{array}\right.$

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x}_1^2-\left(m-1\right)x_1+x_2-2m+\frac{33}{2}=762019\\ \iff x_1^2-2\left(m-1\right)x_1+2x_2-4m+33=1524038\\ \iff x_1^2-2m{x}_1-4m-5+2\left(x_1+x_2\right)=1524000\end{array}$

Do $x_1$là nghiệm của phương trình $\left(1\right)\Rightarrow x_1^2-2m{x}_1-4m-5=0$

$\Rightarrow 2\left(x_1+x_2\right)=1524000\iff 2.2m=1524000\iff m=381000$

Vậy $m=381000$thỏa mãn yêu cầu bài toán

     Ta có:$\begin{array}{l}M=AI.AC+BQ.BC\\ =AC.\left(AC-IC\right)+BQ.\left(BQ+QC\right)\\ =A{C}^2-AC.IC+B{Q}^2+BQ.QC\\ =A{Q}^2+Q{C}^2-AC.IC+B{Q}^2+BQ.QC\\ =\left(A{Q}^2+B{Q}^2\right)+QC.\left(QC+BQ\right)-AC.IC\\ =A{B}^2+QC.BC-AC.IC\end{array}$

Tứ giác $AIQB$ là tứ giác nội tiếp đường tròn (O)$\Rightarrow \widehat{CIQ}=\widehat{CBA}$ (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)

Xét $\Delta CIQ$ và $\Delta CBA$có: $\widehat{ACB}$ chung; $\widehat{CIQ}=\widehat{CBA}\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \Delta CIQ~\Delta CBA(g.g)\Rightarrow \frac{IC}{BC}=\frac{QC}{AC}\Rightarrow QC.BC=AC.IC\Rightarrow QC.BC-AC.IC=0$

Vậy $M=AI.AC+BQ.BC=A{B}^2={\left(2R\right)}^2=4R^2$