c, Gọi $x_1,x_2$là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm  m để $\frac{1}{2}{x}_1^2-\left(m-1\right)x_1+x_2-2m+\frac{33}{2}=762019$

            Ta có: $\widehat{AIB}=\widehat{AQB}={90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)$\Rightarrow \widehat{CIH}=\widehat{CQH}={90}^0$

Xét tứ giác $CIHQ$có $\widehat{CIH}+\widehat{CQH}={90}^0+{90}^0={180}^0\Rightarrow$Tứ giác $CIHQ$là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng ${180}^0)$

     Ta có:$\begin{array}{l}M=AI.AC+BQ.BC\\ =AC.\left(AC-IC\right)+BQ.\left(BQ+QC\right)\\ =A{C}^2-AC.IC+B{Q}^2+BQ.QC\\ =A{Q}^2+Q{C}^2-AC.IC+B{Q}^2+BQ.QC\\ =\left(A{Q}^2+B{Q}^2\right)+QC.\left(QC+BQ\right)-AC.IC\\ =A{B}^2+QC.BC-AC.IC\end{array}$

Tứ giác $AIQB$ là tứ giác nội tiếp đường tròn (O)$\Rightarrow \widehat{CIQ}=\widehat{CBA}$ (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)

Xét $\Delta CIQ$ và $\Delta CBA$có: $\widehat{ACB}$ chung; $\widehat{CIQ}=\widehat{CBA}\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \Delta CIQ~\Delta CBA(g.g)\Rightarrow \frac{IC}{BC}=\frac{QC}{AC}\Rightarrow QC.BC=AC.IC\Rightarrow QC.BC-AC.IC=0$

Vậy $M=AI.AC+BQ.BC=A{B}^2={\left(2R\right)}^2=4R^2$