Cho phương trình  $x^2-\left(m+2\right)x+m+8=0\left(1\right)$với m là tham số

a, Giải phương trình (1) khi m= -8

Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt $\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\ne 0\\ \Delta >0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right.$

Có $\Delta ={\left(m+2\right)}^2-4\left(m+8\right)=m^2+4m+4-4m-32>0\iff m^2-28>0\iff \left[\begin{array}{l}m>2\sqrt{7}\\ m<-2\sqrt{7}\end{array}\right.\left(1\right)$

$\begin{array}{l}S=-\frac{b}{a}=m+2>0\iff m>-2\left(2\right)\\ P=\frac{c}{a}=m+8>0\iff m>-8\left(3\right)\end{array}$

Kết hợp các điều kiện $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)$ta được $\left[\begin{array}{l}m<2\sqrt{7}\\ -8<m<2\sqrt{7}\end{array}\right.$

Theo bài ra ta có:

$x_1^3-x_2=0\Rightarrow x_1^3=x_2\iff x_1{x}_2=x_1^4=m+8$$\iff x_1=\sqrt[4]{m+8}\Rightarrow x_2=\sqrt[4]{{\left(m+8\right)}^3}$

$\Rightarrow x_1+x_2=m+2\iff \sqrt[4]{m+8}+\sqrt[4]{{\left(m+8\right)}^3}=m+8-6$

Đặt $\sqrt[4]{m+8}=t\left(t\ge 0\right)$ , ta có:

$\begin{array}{l}t+t^3=t^4-6\\ \iff t^4-t^3-t-6=0\\ \iff t^4-16-\left(t^3+t-10\right)=0\\ \iff \left(t^2-4\right)\left(t^2+4\right)-\left(t^3-9+t-2\right)=0\\ \iff \left(t-2\right)\left(t+2\right)\left(t^2+4\right)-\left(t-2\right)\left(t^2+2t+5\right)=0\\ \iff \left(t-2\right)\left(t^3+t^2+2t+3\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}t=2\\ t^3+t^2+2t+3=0\left(VN\right)\end{array}\right.\\ \Rightarrow \sqrt[4]{m+8}=2\iff m+8=2^4=16\iff m=8\left(tm\right)\end{array}$

Vậy $m=8$

Ta có đường thẳng $\left(d_1\right):y=ax+b$ song song với đường thẳng $\left(d\right)y=x+2$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b\ne 2\end{array}\right.\Rightarrow \left(d_1\right):y=x+b$

Gọi $A\left(-2;y_A\right)$là giao điểm của đường thẳng $\left(d_1\right)$và đồ thị $\left(P\right)\Rightarrow A\in \left(P\right)$

$\Rightarrow y_A=\frac{1}{2}.{\left(-2\right)}^2=2\Rightarrow A\left(-2;2\right)$

Lại có $A\in \left(d_1\right)$nên thay $x=\mathrm{2,}y=2$vào phương trình đường thẳng $\left(d_1\right):y=x+b$ta được $2=-2+b\iff b=4\left(tm\right)$

Vậy đường thẳng $\left(d_1\right)$có phương trình $y=x+4$