c, Trên tia KN lấy điểm I sao cho $KI=KM.$ Chứng minh NI = BK

Trên tia đối của KB lấy E sao cho $KE=KM=KI$

Xét tam giác OAM có đường cao MC ồng thời là đường trung tuyến

$\Rightarrow \Delta OAM$ cân tại M$\Rightarrow OM=AM.$

Lại có $OA=OM\Rightarrow \Delta OAM$ đều $\Rightarrow \widehat{OAM}={60}^0$

Ta có: $\widehat{AMB}={90}^0$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó tam giác AMB vuông tại M$\Rightarrow \widehat{ABM}={30}^0$

Xét tam giác vuông BCM có: $\widehat{BMC}={90}^0-\widehat{ABM}={90}^0-{30}^0={60}^0\Rightarrow \widehat{BMN}={60}^0\left(1\right)$

Tứ giác ABKM là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \widehat{EKM}=\widehat{MAB}={60}^0$(góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Lại có: KE = KM (vẽ thêm) $\Rightarrow \Delta MKE$đều  $\Rightarrow \widehat{KME}={60}^0\left(2\right)$

Từ (1) và (2) :

$\Rightarrow \widehat{BMN}=\widehat{KME}={60}^0$

$\Rightarrow \widehat{BMN}+\widehat{BMK}=\widehat{KME}+\widehat{BMK}$

$\Rightarrow \widehat{NMK}=\widehat{BME}$

Xét tam giác vuông BCM có $\sin \widehat{CBM}=\sin {30}^0=\frac{CM}{BM}=\frac{1}{2}\iff BM=2CM$

Lại có : $OA\perp MN$ tại C $\Rightarrow C$là trung điểm của MN (đường kính dây cung)

$\begin{array}{l}\Rightarrow MN=2CM\\ \Rightarrow MN=BM\left(=2CM\right)\end{array}$

Xét tam giác MNK và tam giác BME có:

$\widehat{MNK}=\widehat{MBE}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK)

$MN=BM\left(cmt\right);\widehat{NMK}=\widehat{BME}\left(cmt\right)$

$\Rightarrow \Delta MNK=\Delta BME\left(g.c.g\right)\Rightarrow NK=BE$(2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow IN+IK=BK+KE$

Mà IK = KE (vẽ thêm)$\Rightarrow IN=BK\left(dfcm\right)$