Cho tam giác ABC vuông tại A (AB> AC) , đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho DH= DB vẽ CE vuông góc với $AD\left(E\in AD\right).$

Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp, xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC 

Gọi thời gian làm riêng công việc của đội thứ nhất là x (giờ) $x>0$

Thời gian làm riêng xong công việc của đội thứ hai là x +6 (giờ)

Trong 1 giờ, đội thứ nhất làm được : $\frac{1}{x}$(công việc)

Trong 1 giờ, đội thứ hai làm được: $\frac{1}{x+6}$(công việc)

Hai đội cùng làm một công việc thì xong trong 4 giờ nên ta có:

$\begin{array}{l}4.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}\right)=1\iff \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}=\frac{1}{4}\\ \iff \frac{4.\left(x+6\right)}{4x\left(x+6\right)}+\frac{4x}{4x\left(x+6\right)}=\frac{x\left(x+6\right)}{4x\left(x+6\right)}\\ \Rightarrow 4.\left(x+6\right)+4x=x\left(x+6\right)\iff 4x+24+4x=x^2+6x\\ \iff x^2+6x-4x-24-4x=0\iff x^2-2x-24=0\\ \iff x^2-6x+4x-24=0\iff x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)=0\\ \iff \left(x+4\right)\left(x-6\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-4\left(ktm\right)\\ x=6\left(tm\right)\end{array}\right.\end{array}$

Vậy đội thứ nhất làm riêng xong công việc trong 6 giờ, đội thứ hai làm riêng xong công việc trong 12 giờ.

a, Ta có: $x^2-4x+4={\left(x-2\right)}^2$

Điều kiện: ${\left(x-2\right)}^2\ge 0$ luôn đúng với mọi $x\in ℝ$

$\begin{array}{l}\sqrt{x^2-4x+4}+x=8\iff \sqrt{{\left(x-2\right)}^2}+x=8(*)\\ \iff \left|x-2\right|+x=8\end{array}$

Nếu $x-2\ge 0$thì $x\ge 2\Rightarrow \left|x-2\right|=x-2$

Khi đó phương trình (*) trở thành: $x-2+x=8\iff x=5\left(tm\right)$

Nếu $x-2<0\iff x<2\Rightarrow \left|x-2\right|=-x+2$

Khi đó, phương trình (*) trở thành $-x-2+x=8\iff -2=8$(vô lý)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\left\{5\right\}$