Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ lần lượt hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm P bất kỳ (P khác B và C), từ P kẻ các đường thẳng $PQ,PE,PF$ lần lượt vuông góc với các cạnh $BC,AC,AB$ $\left(Q\in BC,E\in AC,F\in AB\right)$

a, Chứng minh tứ giác PECQ nội tiếp

Gọi vận tốc lúc về của thầy Minh là $x(km/h)(x>0)$

$\Rightarrow$Thời gian về của thầy Minh là : $\frac{60}{x}$(giờ)

Do lúc về thầy Minh giảm tốc độ xuống $10km/h$so với lúc đi nên vận tốc lúc đi của thầy Minh là: $x+10(km/h)$ $\Rightarrow$Thời gian lúc đi của thầy Minh: $\frac{60}{x+10}\left(h\right)$

Theo đề bài ta có thời gian lúc về nhiều hơn thời gian lúc đi 30 phút $=\frac{1}{2}$giờ nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=\frac{1}{2}\\ \Rightarrow 120(x+10)-120x=x(x+10)\\ \iff x^2+10x-1200=0\\ \iff x^2+40x-30x-1200=0\\ \iff x\left(x+40\right)-30(x+40)=0\\ \iff \left(x+40\right)\left(x-30\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x+40=0\\ x-30=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-40\left(ktm\right)\\ x=30\left(tm\right)\end{array}\right.\end{array}$

Vậy vận tốc lúc về của thầy Minh là $30km/h$

Áp dụng định lý Pytago cho $\Delta ABC$vuông tại A ta có:

$A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2={13}^2-5^2=144\Rightarrow AC=12cm$