b, Gọi M là giao điểm của PQ và FQ, N là giao điểm của PC và EQ. Chứng minh rằng $M N ⊥ P Q$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có tứ giác PECQ nội tiếp (cmt) $\Rightarrow \hat{P Q E} = \hat{P C E}$ (cùng chắn cung PE)

Lại có: $\hat{P C E} = \hat{P B C}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn PC)

$\Rightarrow \hat{P Q E} = \hat{P B C}$ hay $\hat{P B C} = \hat{P Q N} (= \hat{P C E}) (1)$

Xét tứ giác PFBQ ta có: $\{\begin{cases} \hat{P Q B} = 90^{0} (P Q ⊥ B C) \\ \hat{P F C} = 90^{0} (P F ⊥ A B) \end{cases} \Rightarrow \hat{P Q B} + \hat{P F C} = 90^{0} + 90^{0} = 180^{0}$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện $\Rightarrow P F B Q$ là tứ giác nôi tiếp

$\Rightarrow \hat{F B P} = \hat{F Q P}$ (cùng nhìn PF)

Lại có: $\hat{P B F} = \hat{B C P}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn $\overset{⏜}{P B})$

$\Rightarrow \hat{P Q F} = \hat{P C B}$ hay $\hat{P C B} = \hat{P Q M} (= \hat{P B F}) (2)$

Xét $Δ P B C$ có: $\hat{B P C} + \hat{P B C} + \hat{P C B} = 180^{0}$ (tổng 3 góc trong tam giác ) (3)

Từ (1) (2) (3)

$\Rightarrow \hat{B P C} + \hat{M Q P} + \hat{P Q N} = \hat{M P N} + \hat{M Q P} + \hat{P Q N} = \hat{M P N} + \hat{M Q N} = 180^{0}$

$\Rightarrow M P N Q$ là tứ giác nôi tiếp $\Rightarrow \hat{P M N} = \hat{P Q N}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PN)

$\Rightarrow \hat{P M N} = \hat{P B C} (= \hat{P Q N})$ , mà hai góc này ở vị trí đồng vị $\Rightarrow M N / / B C$

Lại có $B C ⊥ P Q \Rightarrow M N ⊥ P Q (d f c m)$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Thầy Minh đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 60km với vận tốc không đổi. Khi từ B trở về A do trời mưa, thầy Minh giảm vận tốc của xe máy xuống 10km/h so với lúc đi nên thời gian lúc về nhiều hơn thời gian lúc đi 30 phút. Hỏi lúc về thầy Minh đi xe máy với vận tốc bao nhiêu ?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi vận tốc lúc về của thầy Minh là $x (k m / h) (x > 0)$

$\Rightarrow$ Thời gian về của thầy Minh là : $\frac{60}{x}$ (giờ)

Do lúc về thầy Minh giảm tốc độ xuống $10 k m / h$ so với lúc đi nên vận tốc lúc đi của thầy Minh là: $x + 10 (k m / h)$ $\Rightarrow$ Thời gian lúc đi của thầy Minh: $\frac{60}{x + 10} (h)$

Theo đề bài ta có thời gian lúc về nhiều hơn thời gian lúc đi 30 phút $= \frac{1}{2}$ giờ nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l} \frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow 120 (x + 10) - 120 x = x (x + 10) \\ \Leftrightarrow x^{2} + 10 x - 1200 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 40 x - 30 x - 1200 = 0 \\ \Leftrightarrow x (x + 40) - 30 (x + 40) = 0 \\ \Leftrightarrow (x + 40) (x - 30) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + 40 = 0 \\ x - 30 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 40 (k t m) \\ x = 30 (t m) \end{array} \end{array}$