c, Đường thẳng qua K vuông góc với DE cắt đường tròn (O) tại hai điểm M và N (với M thuộc cung nhỏ $\overset{⏜}{A D})$ . Chứng minh $E M^{2} + D N^{2} = A B^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2019 có đáp án (Phần 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Kẻ đường kính MP của đường tròn (O) . Nối N với P cắt AB tai I . Nối E với P, E với B.

Có $\hat{M N P} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow M N ⊥ N P$

Mà $M N ⊥ D E (g t)$ nên $N P / / D E \Rightarrow D N P E$ là hình thang

Lại có $D E ⊥ A B, N P / / D E \Rightarrow N P ⊥ A B \Rightarrow I$ là trung điểm của NP (tính chất đường kính dây cung) $\Rightarrow B$ là điểm chính giữa cung NP

$\Rightarrow s d \overset{⏜}{N B} = s d \overset{⏜}{P B}$

Dễ thấy tam giác BDE cân tại B (đường cao BH cũng là đường trung tuyến)

$\Rightarrow B D = B E \Rightarrow s d \overset{⏜}{B D} = s d \overset{⏜}{B E}$

$\Rightarrow s d D B - s d B N = s d E B - s d B P \Rightarrow s d D N = s d E P \Rightarrow D N = E P$ (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

Do đó: $E M^{2} + D N^{2} = E M^{2} + E P^{2} = M P^{2}$ (Do tam giác MEP vuông tại E), mà $M P = A B$ (=đường kính)

Vậy $E M^{2} + E P^{2} = A B^{2} (d f c m)$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích $80 m^{2} .$ Nếu giảm chiều rộng 3m và tăng chiều dài 10m thì diện tích mảnh đất tăng thêm $20 m^{2} .$ Tìm kích thước của mảnh đất

Xem đáp án

Lời giải

Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (mét) $(x > 3)$

Chiều dài của mảnh đất là y mét ( $y > x > 3)$

Diện tích mảnh đất là $80 m^{2}$ nên ta có phương trình $x y = 80 (1)$

Nếu giảm chiều rộng đi 3m thì chiều rộng mới là $x - 3 (m)$

Nếu tăng chiều dài lên 10m thì chiều dài mới là $y + 10 (m)$

Diện tích mảnh đất mới là $80 + 20 = 100 (m^{2})$ nên ta có phương trình:

$(x - 3) (y + 10) = 100 (2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x y = 80 \\ (x - 3) (y + 10) = 100 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x y = 80 \\ x y - 3 y + 10 x - 30 - 100 = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x y = 80 \\ 80 + 10 x - 3 y - 130 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 10 x y = 800 \\ 10 x + 3 y + 50 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (3 y + 50) y = 800 \\ 10 x = 3 y + 50 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 y^{2} + 50 y - 800 = 0 \\ 10 x = 3 y + 50 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} y = 10 (t m) \\ y = - \frac{80}{3} (k t m) \end{array} \\ x = \frac{80}{y} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 8 \\ y = 10 \end{cases} (t m) \end{array}$

Vậy chiều dài mảnh đất là 10m và chiều rộng mảnh đất là 8m

Câu 2

Cho phương trình $4 x^{2} + (m^{2} + 2 m - 15) x + {(m + 1)}^{2} - 20 = 0$ với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn hệ thức $x_{1}^{2} + x_{2} + 2019 = 0$

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1}, x_{2} \Leftrightarrow Δ \geq 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(m^{2} + 2 m - 15)}^{2} - 16 [{(m + 1)}^{2} - 20] \geq 0 \\ \Leftrightarrow {[{(m + 1)}^{2} - 16]}^{2} - 16 {(m + 1)}^{2} + 320 \geq 0 \\ \Leftrightarrow {(m + 1)}^{4} - 32. {(m + 1)}^{2} + 256 - 16 {(m + 1)}^{2} + 320 \geq 0 \\ \Leftrightarrow {(m + 1)}^{4} - 48. {(m + 1)}^{2} + 576 \geq 0 \\ \Leftrightarrow {(m + 1)}^{4} - 2.24. {(m + 1)}^{2} + 24^{2} \geq 0 \\ [{(m + 1)}^{2} - 24] \geq 0 \forall m \end{array}$

Nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\begin{array}{l} \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \frac{m^{2} + 2 m - 15}{4} = - \frac{{(m + 1)}^{2} - 16}{4} = - \frac{{(m + 1)}^{2}}{4} + 4 \\ x_{1} x_{2} = \frac{{(m + 1)}^{2} - 20}{4} = \frac{{(m + 1)}^{2}}{4} - 5 \end{cases} \\ \Rightarrow x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} = - 1 (*) \end{array}$

Theo đề bài ta có: $x_{1}^{2} + x_{2} + 2019 = 0 \Leftrightarrow x_{2} = - x_{1}^{2} - 2019$

Thay vào (*) ta có:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_{1}^{3} + x_{1}^{2} + 2018 x_{1} + 2018 = 0 \Leftrightarrow x_{1}^{2} (x_{1} + 1) + 2018 (x_{1} + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (x_{1} + 1) (x_{1}^{2} + 2018) = 0 \Leftrightarrow x_{1} + 1 = 0 (x_{1}^{2} + 2018 > 0) \\ \Leftrightarrow x_{1} = - 1 \Rightarrow x_{2} = - 1 - 2019 = - 2020 \end{array}$

Mặt khác $x_{1} x_{2} = \frac{{(m + 1)}^{2}}{4} - 5$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2020 = \frac{{(m + 1)}^{2}}{4} - 5 \Leftrightarrow 2025.4 = {(m + 1)}^{2} \\ \Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} = 8100 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m + 1 = 90 \\ m + 1 = - 90 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 89 \\ m = - 91 \end{array} \end{array}$

Vậy $m \in \{89; - 91\}$ thỏa mãn điều kiện bài toán

Câu 3